L'existence de grandeurs incommensurables entre elles
conduit à introduire en Arithmétique une nouvelle classe de nombres, les nombres incommensurables ou nombres irrationnels. Supposons que le segment OA [n'ait pas de commune mesure avec le segment BC choisi pour unité. Nous pouvons alors partager les nombres rationnels en deux catégories, en comparant les segments que mesurent ces nombres rationnels
avec le segment OA. Soit ^^ un nombre rationnel; le segment
do droite dont la mesure est le nombre || ne peut être égal au segment OA; il est plus petit ou plus] grand que OA. Dans le premier cas, nous dirons que le nombre |j appartient à la première catégorie (a) ; dans le second cas, il appartient à la seconde catégorie {fl>). Ces deux catégories de nombres rationnels possèdent les propriétés suivantes :
Un nombre quelconque de la catégorie (a) est plus petit quun nombre quelconque de la catégorie {f:j).
Soient en effet ^' , ^V deux nombres rationnels, appartenant respectivement aux deux catégories (a) et (fi). Si le nombre est de la première catégorie, le segment ^^ BC est plus petit que le segment OA; de même, si Jt est de la seconde catégorie, le
segment (^ BC est plus grand que le segment OA. Par consé-
P' quent, le segment^- BC est plus petit que le segment ^-, BC, et
le nombre rationnel |- est plus petit que le nombre rationnel ^j • Parmi les nombres de la catégorie (a), // n'en est aucun qui
soit plus grand que tous les autres.
Supposons en effet qu'il existe un nombre ^-^ de la catégorie
finie qu'avec le degré de précision que comportent les Instruments de mesure; il ne saurait donc être question de reconnaitre pratiquement si ce segment est ou non commensurable avec le segment choisi pour unité.
NOMBRES INCOMxMENSUIUBLES. LIMITES 5
(a), qui soit plus grand que tous les autres nombres rationnels de la môme catégorie. Le segment OA^ dont |la mesure est le
nombre rationnel q est plus petit que le segment OA, et si on
le porte sur la demi-droite OX, l'origine étant en 0, l'extrémité Aj de ce segment sera à gauche du point A {fig. i). Supposer
que le nombre q est plus grand que tous les autres nombres de
la même catégorie, cela revient à supposer que, si l'on prend un point quelconque D sur OX entre A, et A, le segment OD est incommensurable avec BG. Or cela est impossible ; car l'on peut toujours trouver un nombre entier n assez grand pour que la n" partie du segment BG soit plus petite que le segment AiA. Si l'on a choisi le nombre n de façon à^satisfaire à cette condition, parmi les segments comptés JsurOX^ à partir du point 0, et
qui sont mtesurés par les nombres ^^ , ^^ » ^ , . . . il y en a donc au moins un dont l'extrémité est entre les ["points k^ et A, et la mesure de ce segment est un nombre rationnel plus grand que
^ . On prouvera de même que parmi les nombres de la catégorie (|5), Un en est aucun qui soit plus petit que tous les autres nombres de la même catégorie.
Toutes les fois que, par un moyen quelconque, on est parvenu à décomposer l'ensemble des nombres rationnels en deux catégories (a) et {^), satisfaisant aux trois conditions précédentes, on dit que l'on a défini un nombre incommensurable ou irrationnel. Un nombre de cette espèce n est donc au fond qu une coupure établie dans l'ensemble des nombres rationnels. Un nombre rationnel de la catégorie (a) est dit plus petit que le nombre irrationnel /, défini par la décomposition précédente, et tout nombre rationnel de la catégorie (fi) est dit plus grand que i.
