Considérons les 3 fonctions linéaires et homogènes

P z= ax -I- I>y -4- cz Q = ciiX -h biY H- CiZ [{ = a.^x -+- }).j -H c^r.

Si nous y remplaçons x, y, z par les valeurs tirées des formules

a? = aX -h «lY -f- a.^Z

z = fX + Y,Y -)- Y,Z

MULTIPLICATION DES DETERMINANTS

nous obtenons V = {aoc -i- 6^ -h cy ) X -t- (aai -+- b^y + cyi ) Y -+■ (aa^ -f- 6^^ -{-

E^==(«2^4- ^2P+ Vr) ^^ H- («2«1-+- ^2^ + V/l) Y4-(a2«2+ ^2^2 +

Désignons par D, â et A les déterminants ci-dessous

CYa) Z CiT,)Z

a ^ Y «1 Pi Ti

CY aa, 4- 6^^ + C,Y «!«! + 6ip^ +

CTl «^2 -^- ^?2 -i- CY2 VCl «2«2 + ^2^2 -+- C2Y2

Si D = G, on peut déterminer des constantes )., rjL, v, dont l'une au moins soit différente de zéro et telles que dans l'expression

XP -mjlQ + vR

les coefficients de x, y, z, soient tous nuls. Si, dans cette expression, on remplace x, j, z par leurs \aleurs en fonction de X, \, Z, dans le résultat de cette substitution les coefficients de X, Y, Z seront tous nuls ; mais le résultat de cette substitution est

XP -f- {jiQ 4- vR.

Cette fonction linéaire et homogène en X, Y, Z devant être identiquement nulle, le déterminant A doit être nul. Donc, si D = o, on a A = o.

Si nous échangeons

abc «1 6j Cj «2 6^ c^ respectivement avec

« P T «1 Pi Ti ^2 P2 T2

D et 0^ s'échangent entre eux et A ne change pas. On en conclut que si & = o, on doit avoir A = o, et l'on est conduit à penser que A contient en facteur D et r), c'est-à-dire que l'on a

A = mDo,

m étant une fonction entière des éléments de D et de c?. Mais le