Prenons comme exemple les /i équations à 5 inconnues
Sj = «^x -h bj -h c^z + d^t -h e^ll -4-/1 =: o, S^ = a.^x -4- b.j -h c^z -1- d^t + e.-^u -\-f.2 = o, S-i = a.^x -h bj -^ c^z -h d,^t + e.,u -4-/3 = o, S^ = a^x -+- bj -h c^z H- (/,/ + e^u -h J\ = o.
Supposons que les déterminants du 3" ordre, tels que
"2 ^2 bo c.
formés avec les coefficients de 3 des inconnues dans 3 des équations soient nuls, mais que Tun au moins des déterminants du 2" ordre formés avec les coefficients de 2 des inconnues dans 2 des équations données, par exemple
soit différent de zéro : c? correspond aux équations Si S^ = o et aux inconnues x et y.
STSTEME DE n EQUATIONS LINEAIRES A m INCONNUES III
Considérons les équations
et l'une quelconque des autres, par exemple
On peut former une combinaison linéaire des premiers membres de ces équations qui ne contienne plus ni x ni y. Pour cela, bordons le déterminant & horizontalement avec les coefficients des inconnues x et y dans S.^ et verticalement avec les premiers membres des équations considérées
Le déterminant ainsi obtenu est une fonction linéaire et homogène de Sj, 80,83, comme on le voit, en le développant suivant les éléments de la dernière colonne, soit :
Dans ce développement, X^ est précisément égal à o".
D'autre part, si l'on remplace S^, 82, 83 par les sommes correspondantes, le déterminant peut être décomposé en une somme de 5 déterminants, dont chacun contient en facteur l'une des variables, sauf le dernier qui est tout connu. Dans ce développement, le coefficient de x est nul comme déterminant ayant deux colonnes identiques, le coefficient de y est nul pour la même raison ; les coefficients de z, t, u sont des déterminants de S'' ordre qui sont nuls par hypothèse. Donc si on pose
on a l'identité
De même en posant
et en désignant par /j.^, a^» IM> les coefficients du développement de A^ suivant les éléments de la dernière colonne, on trouverait l'identité
l^iSj + i^oS^ -h ^t^S, = A4.
Si l'on remarque que chacun des coefficients 1.^ et a^ est égal au déterminant â, on peut écrire les identités précédentes
XjSj -+■ l,S, -h 0S3 = A3 [AjSi + ix.^S.-^ -+- 8S^ = A4.
Comme 0' a été supposé différent de zéro, ces deux identités peuvent être résolues par rapport à S3 et à S^^, nous allons montrer qu'elles donnent toute la discussion dans le cas que nous considérons.
Si l'on a pas à la fois A3 := o et A, =0, S^, S.,, S3, S4 ne peuvent s'annuler en même temps ; on dit qu'il y a i/npossihilité.
Si l'on a en même temps A3 = o et A4 = o, les identités deviennent
XjS^ -h X2S2 + 3S3 ^ o, î^jSj -h 1JI2S2 -f- oS^ ^ o.
Comme r) est différent de zéro, on voit que si Si et S^ sont nuls, S3 puis S^ doivent s'annuler. Donc, pour trouver une solution du système proposé, il suffit de satisfaire aux équations :
Sj = a^x -i- bj -h c,3 H- d^t -f- e^u -\- fi =0, Sj = a.^x -h b.j -\- c^z -t- d.^t + e^u -{- f^ = o.
Mais dans ces équations, le déterminant des coefficients des inconnues x et y est le déterminant supposé difl'érent de zéro, on peut donc prendre arbitrairement les valeurs des inconnues Zy t, u et on obtiendra ensuite pour a:; et j des valeurs bien déterminées.
On dit dans ce cas qu'il y a indeter/nination et que les équations données se réduisent aux deux premières.
100. — Résumé de la discussion d'un système de n équations à m inconnues.
Pour simplifier ce résumé, nous laisserons de côté le cas 011 les équations peuvent être résolues par rapport à n des incon-
SYSTEME DE n EQUATIONS LINEAIRES A m INCONNUES Il3
nues, c'est à-dire où le déterminant forme avec les coefficients de n des inconnues dans les n équations est différent de zéro. La règle de Cramer suffit pour ce cas.
Nous supposerons aussi que les coefficients ne sont pas tous nuls : Dans ce dernier cas, si les termes tout connus ne sont pas tous nuls, il y a impossibilité, et si les termes connus sont tous nuls on peut prendre arbitrairement toutes les inconnues.
Ces deux cas écartés, envisageons (^) le tableau rectangulaire T formé avec les coefficients des inconnues, et considérons les déterminants qu'on peut en déduire en prenant les éléments communs à un certain nombre de lignes et à un nombre égal de colonnes. Comme les éléments du tableau ne sont pas tous nuls, il existera toujours parmi les déterminants déduits du tableau ï au moins un déterminant qui soit différent de zéro et dont l'ordre soit supérieur ou égal à celui de tout autre déterminant non nul. S'il en existe plusieurs jouissant de cette double propriété, on choisira l'un d'eux à volonté.
Nous donnerons au déterminant r} ainsi choisi le nom de déterminant principal du système : l'ordre du déterminant principal ne peut dépasser le nombre des inconnues ni le nombre des équations.
Nous appellerons déterminant caractéristique l'un des déterminants obtenus en bordant le déterminant prijicipal horizontalement avec les éléments homologues de l'une des lignes non employées du tableau ï et verticalement avec les termes tout connus correspondants.
Cela posé, nous pouvons énoncer la proposition suivante ;
Pour que n équations linéaires à ni inconnues soient compatibles, il faut et il suffit que les déterminants caractéristiques soient tous nuls.
Si les déterminants caractéristiques sont tous nuls, le système a une solution unique ou est indéterminé, suivant que l'ordre du
(i) Voir la note de M. E. Rouché u Sur les Equations linéaires », Journal de l'Ecole polytechnique, XLVIlJc cahier, 1880. E'cnoncé suivant est copié à peu près textuellement clans cette note.
Briot — Leçons d'Algèbre 8
Il4 LIVRE II. CHAPITRE II
déterminant principal est égal ou inférieur au nombre des inconnues.
Remarque. — Si Tordre /) du déterminant principal est inférieur au nombre n des équations, le premier membre de l'une quelconque des n — /) équations dont les coellicients ne figurent pas dans le déterminant principal peut s'exprimer linéairement en fonction des premiers membres des p équations correspondant à ce déterminant principal : on dit que les équations se réduisent il p.
Dans le même cas, on peut prendre arbitrairement la valeur de n — p inconnues, celles dont les coellicients ne figurent pas dans le déterminant principal.
101. Équations linéaires et homogènes. — Les équations sont toujours vérifiées au moins par un système de valeurs des inconnues, celui que l'on obtient en prenant cbacune des inconnues égale à zéro.
D'ailleurs les déterminants caractéristiques sont tous nuls, l'un quelconque d'entre eux ayant une colonne composée de termes tous nuls.
Théorème. — Pour rjuun système de n équations linéaires et homogènes à m inconnues admette une solution telle que la valeur de F une au moins des inconnues soit différente de zéro, il faut et il suffit que l'ordre p du déterminant principal soit inférieur au nombre des inconnues.
Car si;) = m, il y a une seule solution,' 'celle que l'on obtient en prenant zéro pour la valeur de chaque inconnue, et si p < m, on peut prendre arbitrairement la valeur de l'une au moins des inconnues.
En particulier, un système de n équations linéaires et homogènes à /i + I inconnues admet toujours une solution telle que l'une au moins des valeurs des inconnues soit différente do zéro.
FORMES LINÉAIRES 102. — On appelle forme linéaire des variables x, y, z, un
FORMES LIINE AIRES
Ilb
polynôme entier homogène et du premier degré par rapport à ces variables x, y, z.
On dit que plusieurs formes P, Q, R des mêmes variables x, y, z sont dépendantes, si l'on peut déterminer des constantes )., a, V dont l'une au moins soit différente de zéro et telles que l'on ait, quels que soient x, y, z, l'égalité
).P -h tJiQ-H vR + =o.
Dans le cas contraire, on dit que les formes sont indépendantes.
Théorème. — Etant données n formes et le nombre des variables étant supposé supérieur ou éfjal à n, les formes données .sont indépendantes si l'un des déterminants formés avec les coefficients de n des variables dans les n formes est différent de zéro.
Par exemple, les formes
S = ax -\- by -i- cz -+- dt
Si =:: a^X -+- 6jJ -h CiZ + dit
S^ = a.,x -+- b.,y -fsont indépendantes si le déterminant
dj
lest différent de zéro.
En effet, si l'on écrit que l'on a identiquement
>S -+- AiSi -h ^^S^ ^o,
on a 4 équations en )^, li, X^, parmi lesquelles se trouvent les suivantes :
al bl
6jAi H- /^^Xg = o,
Mais l'on sait que, étant données 3 équations linéaires et homogènes à 3 inconnues, si le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro, les inconnues doivent toutes être nulles. Donc, on ne peut supposer l'une des constantes différente de zéro ; S, Si, Sa sont des formes indépendantes.
Il6 LIVRE II. CHAPITRE II
103. Théorème. — Des formes linéaires sont nécessairement dépendantes quand le nombre des formes est supérieur au nombre des variables.
Considérons 3 formes à 2 variables
S = ax -H by.
Si = a^x -h />,y, S^ = «2^ + bj;
essayons de déterminer des constantes 1, X^, /^, dont l'une au moins soit différente de zéro et telles que l'expression
soit identiquement nulle ; il suffit pour cela de satisfaire aux équations linéaires et homogènes
aX H- ajXi -f- a.,!.^ = o, bl -h 6iXi -f- b.^l.^ = o,
et comme le nombre des inconnues est supérieur au nombre des équations, on peut toujours trouver des constantes /, Xj, À^, satisfaisant aux conditions précédentes. Donc S, Si, S^, sont des formes dépendantes.
On démontre de môme la proposition suivante : Des formes linéaires sont nécessairement dépendantes si elles s'expriment en fonction linéaire et homogène d'un nombre moindre de formes des mêmes variables.
MULTIPLIGITION DES DÉTERMLXANTS
