ÉQUATION GÉNÉRALE BU 1*' DEGRÉ
générale pùur former le dénominateur commun et pour en
déduire les finmérateun. — Discussion complète des formules
propres au cas de deux équations.
Nous avons exposé dans la première partie de Talgëbre
^ 117, 118, 119) la résolution de deux équations géné-
nks du premier degré à deux inconnues, et nous avons
discuté en détail (n" 120 et 121) les formules trouvées.
Boas avons opéré aussi (n°' 122, 123 et 124) la résolution
de trois équations générales à trois inconnues , et nous
ayons discité sommairement les formules trouvées (n** 125).
Hous nous occuperons actuellement de la résolution d'un
nombre quelconque d'équations générales du premier degré
renfermant un pareil nombre d'inconnues.
6. Dn système de n équations générales du premier degré à n inconnues peut être mis sous la forme suivante
aX'\'by -\-cz -\-gu -\-hv =k^
a'x+Vy+c'z +g'n +h'v=k',
On appelle fonction alternée de plusieurs lettres xme ^pression qui change de signe en conservant la même va- ^ numériquei quand on permute deux lettres. Le dénonrinateur
ad' — ba',
î^ se rapporte à deux équations, est une fonction alternée 'w deux lettres a et 6 ; car si Ton permute ces deux lettres, ' ^Jevient 6a' — ab\ et change de signe en conservant la ^0^ valeur numérique. De même le dénominateur trouvé
pour trois équations .j^-i,i\ j,| aiio.- oii tjjI i.-
-(..râ'?*P- ,<ïfif|fHTOÇ<»flPes,\dç..ç3pieMfflW>j| J§ipolplme
nque. -m m'u^Iji e:»I »(:ob i: no jlijif JiiLn/al)
Les termes d'une fonction alteraée se déduisent fadlement ^ù'premïer, en permutant les ïetlres^dèiuf à deux de toutes les manières possibles, et changeant le signe à chaque permutation. En effet, si le polynôme contient le terme a6'c'',.i| dpît contenir ausQ^ ^e tei^e rrr.çK'fr" obtenu en permutant les deux lettres b et c, puisque le polynôme "^ 'dbëiige ^è^'Sl^-'ïyiiiJ ^Wi^erànmhiir Hë riiéinfe 'lé' ^tenne .^.^ck'W'^ûmm^WH^inef-\^''khi^^^^ p^rriiïiiaîîiii'lles ^'i'-aeta-"fet<<^'tt%'é,^tc/'''^^^'''*'' '' ' ^ '"^ .-.i.n-.i.ul -^''i» Rôttife^dnâ '4iië; ï8l^qUë^'d^k'tiiiefoncti(itf*à'lto^ ^ït^lHée^Wne^tefti^'tiàF uôë àiitrê, Sàné^rèiii^ïàcë^ cëU^ par la pfem|ëre> Texpression devient nuile^ Bdmplaçon^^^ par exemple, a par b sans remplacer 6 par a; à ud'Yenn^ que)cpn4i^W4:^ correspond, comme nou^ l'avons dit. n^ terme — ba'c\ Obtenu en permutant les lettres a et 6; or-ss ?.oi8i')«|BtA'ïtea(p}aoé Ipar b^ > <tes termes devietimnt égâu&'et d^ ./idigndSi^ntraiiieBr aûftsi les termes' du ipélynôme: 8e><d&^ - ;!t»^is«Bi?|i deux à. deua:." ■■•.•■•' ■: ■'< ■«•■.'•'"'■• ' ' -j-mi mI) irGonaMéron^ màintenaiit le polynôme ahemé> fortMi" AVe:^ ifies* fi> ièttesd^w&y (T^ ....... gi^ A, et ayant pouri^teier
pbfterme- 1 i-vj ■ , ■ : ; ..• -i -i;
abV' h^^'\ ■ ..;.î
iK,^ W»3ç^Qtpn§iP^r,;I> ce polynôme. Tous l^iteniies conte- ,^, pdg^ 4%4gttf p„f uç|e ifpis et . seulement ïine foiâ^ jsoua poir- .-^b ^fflM^?W?r.ÇÇ polynôme par rapport km, a!,vHM*«^\
tOUATlONS GiNÉBALKS OU 1** DEGRÉ. 9
et J'écrire sous la forme
Dfer Au +*AV + k'a" + A<"-«ûf"-»,
00 kg qnantitéb A, A\..... ne contenant plus la lettre a, niais
Ifliilea autres lettres h^c, h. Nous savons que, si Ton rèm-
h^jkceh'lMM'b'fiBLT l'une des autres lettres, le polynôme devient nul ; on a donc les relations
ÂA rf- AV + A"*^ +A^^W''^=:0,
■*'' ' Ac + AV + AV + A^--*^'-*^ = o,
""" AA + A'A' + A'A'^ + A'"-' A »-*' = o.
g.^, .Cela posé, multiplions les équations pioposées, lajire-
^^,mière par A, la seconde par A', la troisième par A", ,
la dernière par A^""*^ et ajoutons : le coefficient de « eyera fri.^ (olyAÔme D ; les coefiicients des autres inconnues» d'àj.j ipès les relations précédentes, seront nuls ; on aura dope
.,?^i ■ .■Di* = A* + A'*' + A''r ^Ain^i)k^n^)^ •
JpMm
AA + A'A' + A'T -fA'-'W»-"
fin ^ J* Cj m ■■■■ w..- ■ ■ ■» .1 , "J*
Aa + AV + AV +A<"-*y*»-*î
^ Ce mode de résolution s'applique à l'une quelconques des inconnues. Ainsi, le dénominateur commun est le poly- ^toie alterné formé avec les lettres a, fr, c, gr, ft, pdly-
'^'^t&e que nous avons représenté par D; le numérateur de ! chaque inconnue s'obtient en remplaçant dans le dénomi-
^teur les coefficients de cette inconnue par les seconds
Membres,
7. Remarque. Le dénominateur commun se compose d'un ^ï'tain nombre de termes qui sont les permutations que * <Hi peut faire avec les lettres a, 6, c, ft, servàût de
coefficients aux inconnues. Ainsi, pour trois inconnues, dénominateur contient six termes, les six permutations trois lettres a, 6, c, et nous avons appris (1'** partie, n*l; à former ce dénominateur au moyen des permutations deux lettres.
De même pour quatre inconnues, le dénominateur ce tiendra »24 termes, les permutations des quatre lettres 6, c, d. On le formera, au moyen du précédent, en metU dans chacun des termes la lettre d à toutes les places droite à gauche, donnant au premier terme de chac groupe le signe du terme qui Ta fourni , et alternant signes dans ce groupe. Voici ce dénominateur :
ab'c"d'" — ab'dY" + adVc'' — daTc''
— acVd'" + ac'd"b"' — ad'c'V + ddh^c'" + caVd'" — cald'V + cd'a%'" — dda^lf
— hdd'd'" + hcld"c" — hd'd'c'" + dé'aV 4. hc^a'^d" — bc^ra!" + bd:&'a'" — dbVa
— cVd'd'" + chd"o!" — cdVà!'' + ddb^'oT.
La première lettre de chaque terme n'a pas d'accent seconde est affectée d'un accent, la troisième de deux quatrième de trois.
LORSQUE, DANS l' ÉQUATION OX' + tOJ + C = 0, a TEND 1 ZÉHO, l'une des racines GROiT INDÉnNIMENT. GAI NUMÉRIQUE DES DEUX RACINES QUAND a EST TRÈS-PET.
Foj/ez la première partie, n" 157 et 158.
