CALCUL DES RADICAUX
CALCUL DES VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUl.
8. On appelle en général racine n' d'un r^rabre positif I, un nombre positif , commensurable ou incommensurable, jui, élevé à la n'' puissance, reproduit le nombre proposé. Test là ce qu'on entend par valetir arithmétique d'un radi-
:al ; on la désigne par le symbole y a. Le nombre n est l'inlîce du radical. On est convenu de ne pas écrire l'indice ijuand il s'agit d'une racine carrée : dans ce cas, on sousîntend l'indice a
Avant d'aborder le calcul des radicaux, nous allons poser quelques lemmes sur les puissances :
Lemme I. On élève un produit à une certaine puissance en élevant clinque facteur séparément à cette puissance. En elTet,
Lemme II. On élève une fraction à une certaine puissance en élevant les deux termes séparément à celte puissance. En effet,
Lemme III. Élever un nombre à deux puissances succèssives revient à Pélever à une puissance ayant pour exposant le produit des exposants.
En effet ,
ftMN
Corollaire I. On élève un monôme à une certaine puistance en élevant son coefficient à cette puissance et multipliant tous les exposants par l'indice de la puissance.
. I .»jij'.'H.'.>il! n!) ïiJrj/ i! j . jîjTl'j nu , j" ii*> Corollaire II. Un monôme est une puisance n* parfaite
lorsque son. coefficient est une pui^an^ ji'Tî^^fite et qa
tous ses exposants sont divisioles par n. Dans ce cas, o
9ht1askt\\iBnr$tàaeA^ An HionduËe-pitipodS, i«ii iextvdya&i 1
exposants. .oni>'OT'^ ^^«'^'v «a
Venons maintenant au calcul des radicaux, -l'p >*!* •''
9. Théorème I. Le prdtùil de plusieurs radicaux t même indice égale la racine du produit des quantités ph céés^eptài làs iyD!ilàiomxio\my\(\ '>i 't/''»l^^ i^o'i i' '"'fi-- •'..1
-njoanoicifînc] )l Jr-iiiA .it«i t-jnr^-'.;., ': ... . .Hii ihrt'.M'Mrj' C^ ^i(^i^^>^ilQ| pjiî^mier m^mbvej : à k «^ f)ui8saiiee , « qui se fait en élevaptcbi^ue f^ct^ur à cette ptiîaaanocg'C reproduit la quantité abc; donc ce premier membre esX 1 racine n oe aoc»
, 10. Théorème II. Le quotient de deux radtcottix de mtm maicé e^a/e la racme du qiiotient des deux quan^ités nlacéi sous les radicaux.
Je dis que
Car si 1 on élève le premier membre à la n* puissance, qui se fait en élevant séparén;^ent le numérateur et le dén
minuteur, on reproduit la fraction -.
CALCULi VB» RADICÀUX4 ti
m/ T&Jofttt» IN. 0ntlèf>0 iàh faiicàl i^hikè cf^ttftne pttisiance en élevant à téitè puie^éntè ^a^UéîiiUi^'ptàklii um le radical.
On a, en effet , en vertu du théorème I ,
/.liSé /IcfiûRlME IV4 lOn.eâDliYiél te rédne dfum radiiolàê mUflianl VMi^^fl^adioat^ritiùdicBde tàrmineqme hnveut extraire. -:. .^.. yr^
Jedisque :/«/••. 'ï1»'.> > -i* :. ii.o '.f»- jiip.ii'niiii;rn -:fn«ii'»/
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En effet , si l'on élève le premier œiAbne 'ii htf optn»:)
sance m, on trouve s/7; si l'oii'^ttèv^'yHsdîW^i^i^^tà't à la puissance n , on obtient a ; ma^ ceci revient à élever le P^er membre à la puissance mn. Ainsi , le premier mem-
l»eLQii.iiBe'<qumtiltô quiV élevée- ft'ràî[i)di»^té'<f)^r ^ Pw^àritiri c'est dono la 'raciûiB wi^ deitti '"''• •» ' J'S^ ••" '"P
lo. THÉORÈME V. Oa ne change pas la vqJ^rd un rao?- ^ 9uand on multiplie ou quand on divise par un tnême ^^>^mrt l xndxce du radical et l exposant de la quanttti plofiée **^ «e radical.
îH)it le r^cal , ,
Je dis qu'en multipliant par ui» |dême nombre entier p 1 indice n et l'exposant m, on obtient un second radical .,
A^. . « -;•, ;.'ML,r."ll ».( Jilj(»n;m'n no /imiJJflifU
^ai au premier. En effet, d après le théofeme précédent,
lA chàpitrb I.
le second radical peut s'écrire
Mais
donc
Corollaire I. On simplifie un radical en divisant 1' dice et l'exposant par leur plus grand commun diviseï Ainsi
Corollaire II. On réduit plusieurs radicaux au mif indice en prenant pour indice commun le produit des ii dices , ou plus simplement leur plus petit multiple. Cet réduction est nécessaire quand on veut multiplier ou dil ser deux radicaux d'indices différents. Ainsi
mr- ni- mni — mn/ — n^n,
V « X y ^ = V^*" X V'^*'* = V ft"^*".
4/- 8/— 12/ — 12/' — Hy
