EXPOSANTS FRACTIONNAIRES

De finition,

M\. On a vu que , pour extraire la racine d'une quanti ^ffectée d'un certain exposant, il suffit de diviser l'expi sant par l'indice de la racine, lorsque cette division e possible. Ainsi

Si, par extension , on applique la même règle dans

EXPOSANTS FRACTfONNAIRES. 15

A OÙ Texposant n'est pas divisible par Tindice de la raie, on obtient un exposant fractionnaire. Soit le radi-

I y a'; l'exposant 7 n'étant pas divisible par l'indice 5,

est impossible d'extraire la racine; mais si Ton applique

règle énoncée plus haut, on est conduit au symbole a',

lel'on adoptera comme représentant le radical proposé.

En général, on est convenu de représenter un radical

RtooDqae Va"" par le symbole a**. Le dénominateur de

îxposant fractionnaire remplace ainsi le signe ^ , et les ^pressions irrationnelles prennent la forme d'expressions Uionnelles.

D'après cette convention , les radicaux

ya

s'écriront

si'?

fi a'

L'emploi des exposants fractionnaires ne sera vraiment ile que s'il est permis de remplacer un exposant fractiondre par un autre égal au premier. Or c'est ce qui a lieu Fectivement; car multiplier ou diviser par un même imbre les deux termes d'un exposant fractionnaire, reent à multiplier ou diviser par un même nombre l'indice un radical et l'exposant de la quantité placée sous le racal, ce qui, comme on l'a vu plus haut, ne change pas

valeur du radical.

On pourra donc, si l'on veut, réduire un exposant frac-

16 CUAPITRK I.

tionnaire à sa plus «impie expression. Soit , par ezempl

le radical y a**, qui s'écrit symboliquement a* ^ ; en ^

plifiant l'exposant fractionnaire f|, on obtient le fspn

1 iy

bole a*, qui représente le radical ya', ^;al au premier.

Cakul des expoiants fraclionfiairei.

Nous allons faire voir maintenant que les règles du cd cul des exposants entiers s'appliquent aux exposants fnc tionnaires.

16* MulUpUcation. Nous avons démontré que, pour mal tiplier deux puissances entières d'un même nombre , il sol fit d'ajouter les exposants. La même règle s'applique aa exposants fractionnaires.

Je dis , par exemple , que

En effet, les deux puissances fractionnaires a* et a* n

présentent par convention les deux radicaux y a* et y a' pour multiplier ces deux radicaux , on les réduira d'abor au même indice, ce qui donne

nq, nq. nq 114,

y û«« X y û"' = \a^ X û"' = y a*«*"'. Or ce dernier radical, produit des deux premiers, s'écr

mq-^-np a "« OU

EXPOSANTS FRACTIONKAIItËS

en remarquant que l'exposant ** est la somme de^

nq

deux fractions — et -. On a donc

fi q

Exemples.

a»xa' = û.

a xa* = a%

fl» X a" = a%

1 8 t jM 7

f6. Dîvtstoti. La règle de la multiplication étant étendue W exposants fractionnaires, celle de la division l'est par cdaméme. Ainsi, pour diviser Tune par l'autre deux puis- 8*0068 quelconques d'un même nombre, il suifira de retoucher l'exposant du diviseur de celui du dividende.

fc dis que

ar «

^» si l'on multiplie le quotient par le diviseur, ce qui se **îtcn ajoutant les exposants, on reproduit le dividende

Exemples.

17. Puissance. Nous avons démontré que Ton él nombre à deux puissances entières successives en 1* :\ une puissance ayant pour exposant le produit des sants. Nous allons faii-e voir que la même règle s'a] aux exposants fractionnaires.

Considérons l'expression

(lotte expression signifie

ou

Vfv/^)",

ni

Il faut élever la quantité y^a*" à la puissance p et ] l;i racine q du résultat. On sait que Ton élève un n une puissance en élevant à cette puissance la quant cée sous le radical ; on a donc

(Va*") =Va'"''.

et par suite

V (y/a'")'' = V V^»*""* On sait d'autre part que l'on extrait la racine d'un