ARRANGEMENTS

contenu danâ le tableau est tn(m — i) ; on a donc

Aj^ = m(m — i).

De même, si à la suite de chacun des arrangements deux à deux on place chacune des m — 2 autres lettres, on forme les arrangements trois à trois :

abCf abd, y abk^

acb, acdy ^ ack,

bac y bddy , bak y

A la suite du premier arrangement ah de deux lettres , nous

avons écrit chacune des autres lettres c , d , fc ; de

iDime, à la suite du second ac^ chacune des autres lettres

ti d, fc, etc. On a formé ainsi tous les arrangements

trois à trois ; car un arrangement de trois lettres se compose nécessairement d'un arrangement de deux lettres suivi d'une autre lettre. Le même arrangement n*est pas répété deux fois ; car les arrangements d'une même ligne Iwrizontale diffèrent par la troisième lettre , et deux arrangements de deux lignes différentes par l'arrangement des deux premières lettres. Chaque ligne horizontale contient w— 2 arrangements , il y a #/i(m — 1) lignes horizontales, autant que d'arrangements deux à deux ; donc le nombre des arrangements de m lettres trois à trois est m{fn — 1) (m— 2); on a donc

£n continuant le même raisonnement , on arriva à la formule générale

h2 CHAPITRE iir.

Le nombre des arrangements de m objets nàn est égal ov produit de n nombres entiers consécutifs décroissants à con^ mencer par m .

37. Il est bon de s'assuier que la formule précédente, écrite par induction, est générale. Supposons que Fod ait formé les arrangements de m lettres n — i an — i , et que Ton veuille former les arrangements n à n ; à la suite de chacun des arrangements n — i à n — i , on écrira successivement chacune des m — n + i autres lettres. On obtiendra de la sorte tous les arrangements n an; car un arrangement de n lettres se compose d'un arrangement de n — 1 lettres suivi d'une autre lettre. Le même arrangement ne se trouve pas répété deux fois ; car deux quelconques des arrangements ainsi obtenus diffèrent par la dernière lettre ou par l'arrangement des n — i premières lettres. Chaque arrangement ancien donnant m — n + i arrangements nouveaux , on a la relation générale

On en déduit , en donnant successivement à n les valeurs 2» 3, 4» n,

Si Ton multiplie toutes ces égalités entre elles, les '^' teurs intermédiaires disparaissent, et l'on obtient la îotf^^

Ajjj = m(m — i) (m — n-j-i).