PERMUTATIONS

Àpplicalians.. 1* Quel est le nombre des arrangements de sept lettres trois à trois? c'est le produit de trois nombres entiers consécutifs décroissants, à commencer par 7.

2* Combien y a-t-il de nombres composés de deux chif- Très significatifs différents? Autant qu'on peut former d'arrangements avec les neuf chiffres signicatifs deux à deux.

Aj=9.8 = 73.

S* Combien y a-t-il de nombres composés de cinq chiffres significatifs différents? Autant qu'on peut former d'arrangements cinq à cinq avec les neuf chiffres significatifs.

A^ =9.8, 7,6.5 = i5iao.

Permutations.

S8. On appelle permutations de m objets les différentes dispositions que Ton peut donner à ces m objets, en les plaçant les uns à côté des autres sur une ligne droite. Chaque permutation contient tous les objets et deux permutations ne diff(*rent que par l'ordre des objets.

Ainsi, avec deux lettres a et ft, on peut former deux per-

inutations

ab, ba.

Nons désignerons en général par P„ le nombre des pcraiutations de m objets. Il résulte de la définition que les permutations de m objets ne sont autre chose que les arranjernents de ces m objets pris tous ensemble, c'est-à-dire '»* àiîi; on a donc, suivant la notation habituelle,

P« = Aj[J = m(m — i)(m — 2) 3.a.i,

sa CHAl>lTRE III.

OU, si Ton change Tordre des facteurs,

Le nombre des permutations de m objets égale le proàwi des m premiers nombres entiers.

Applications. 1* Combien peut-on former de -mots de trois lettres avec trois lettres données? C'est le nombre des permutations de trois lettres

2!^ De coml^en de manières peut-on disposer dix soldats en ligne? C'est le nombre des permutations de dix objets:

P,jj = 1. 2. 3.4«5. 0.7.8.9.10 = 0628800

39. Nous avons déduit la formule des permutations de celle des arrangements comme cas particuliCT. Voici comment on peut établir cette formule directement.

On ne peut évidemment donner qu'une disposition à une

lettre a; ainsi

Avec deux lettres a et 6, on peut former deux permutations

et Ton a

Pj = 1.2.

Si, dans chacune des permutations précédentes, on ^^' troduit la lettre c à toutes les places, à la fin, au milieu, ^ commencement, on obtient les permutations de trois lettre^ a, 6, c,

abCf acb, cab, bac, bca, cba.

On a formé ainsi toutes les permutations de trois lettr^^

car une permutation de trois lettres se composé d'uîie permutation des deux premières lettres a et 6 à laquelle ôh ijoate la troisième lettre r. La même permutation ne se Toove pas répétée deux fois ; car deux permutations quelconques diffèrent, soit par la place de la lettre c, soit pas la disposition des deux autres. Chacune des permutations précédentes donnant trois permutations nouvelles, on à

De même, si dans chacune des permutations des trois lettres a, 6, c, on introduit la lettre d à toutes les places, îtil y a quatre places, deux intermédiaires et deux ex- Tèmes, on obtient les permutations des quatre lettres ^ i, c, d ; chacune des permutations précédentes donnant [uatre permu^tions nouvelles, on a

En continuant le même raisonnement, on arrive à la formule générale

Combinaisons.

iO. On appelle combinaisons de m objets n à n les difféînts groupes que Ton peut former avec ces m objets en » prenant n à n, de toutes les manières possibles, de façon ne deux groupes diffèrent au moins par la nature d'un bjet. Dans les combinaisons on n'a pas égard à la disposion des objets.

Si Ton a m lettres et que Ton imagine qu'elles repréîîtent dés quantités différentes, on peut concevoir les lUbinaisons de ces m lettres nk n comme les différents

tandis que ion a six arrangements.

Nous désignerons en général par C^ le nombre < binaisons de m objets n à n. La formule des comi se déduit de celle des arrangements et de celle des tations. Imaginons en efîet les combinaisons de i n k n formées. Si nous donnons aux n lettres c posent chacune de ces combinaisons toutes les tiens possibles, c est-à-dire si nous permutons ces i nous obtiendrons les arrangements des m lettres Nous aurons ainsi tous les arrangements; #ar u gement quelconque est une combinaison dans laq n lettres qui la composent sont disposées dans ui ordre; et nous n'aurons pas deux fois le même: arrangements fournis par une même combinaison par Tordre des lettres, et ceux qui sont fournis combinaisons différentes diffèrent au moins par 1 d'une lettre. Chaque combinaison donnant un nomj rangements marqué par Pn, on a

d'où

applications. Pour appliquer la formule, on écrit d'ard au dénominateur les n premiers nombres entiers, puis écrit au numérateur autant de nombres entiers décroisits, à commencer par m.

1* Nombre des combinaisons de 5 objets » à ai.

V Nombre des combinaisons de i o lettres 4^4-

, 10-0.8.7 ^.A = =-7" = aïo.

^^ 1.2.3 4 3* Nombre des combinaisons de i o lettres ti à 6.

, 10.9.8.7.6.5 io.().8.7

tf Le nombre des combinaisons de m lettres une à une

tt m, ce qui est évident à priori.

S* Le nombre des combinaisons de m lettres m à m est

88t évident en effet que si Ton prend toutes les lettres, œ peut former qu'une seule combinaison.

41. ProbabilUé. On appelle probabilité d'an événement rapport du nombre des cas favorables au nombre total 9 cas possibles , lorsque tous ces cas sont également saibles. Je suppose qu'une urne renferme 12 boules, blanches et ô noires. On tire une boule au hasard, et D demande la probabilité pour chaque couleur. Il y a cas possibles et également possibles : 7 pour les blan-

58^ GUAPITHË m.

ches, 5 pour les noires. La probabilité est donc — pour

la sortie d'une blanche, — poui* la sortie d*une noire.

La loterie se composait de 90 numéros ; à chaque tirage il en sortait 5 au hasard. Une personne désigne un iramèro, par exemple, le numéro 20 ; si le numéro désigné se trouve parmi les 5 numéros sortants, la personne a ga- ' gné; sinon elle a perdu. C'est là ce qu'on appelait prendre un extrait. Il est facile d'évaluer la probabilité. Puisqu'on tire 5 numéros à chaque fois, le nombre des cas possibles est le nombre des combinaisons de 90 numéros 5 à 5,

Les cas favorables sont les combinaisons qui contiennent le numéro désigné 2 0 ; pour les former, imaginons que Ton ôte ce numéro 20 et que l'on combine les 89 autres numéros 4 à 4? puis que Ton ajoute à chacune de ces combinaisons le numéro 30; on aura de cette manière toutes les combinaisons qui contiennent le numéro 20. Ainsi, le nombre des cas favorables est le nombre des combinaisons

de 89 numéros 4 ^4»

La probabilité de la sortie d'un numéro désigné ou le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des

cas possibles est le quotient de C^^ par C^ , soit — ou ry

Ainsi , sur 1 8 cas possibles , il y en a 1 favorable à la per* sonne qui prend l'extrait, et 17 pour la loterie. Il faudrait donc parier 1 contre 17. La loterie, au lieu de lyfo^s, ne donnait que i5 fois la mise.

ors(iu'oD désigne deux numéros, on prend ce qu'on îlle un ambe ; si les deux numéros désignés sont tous : parmi les cinq numéros sortants , on a gagné ; sinon perdu. Les cas favorables sont les combinaisons qui lennent les deux numéros désignés; on les formerait ombinànt les 88 autres numéros 3 à 5, et ajoutant iacone des combinaisons les deux numéros désignés. i, k probabilité de la sortie d'un ambe est le rapport

iL à C* , soit — '-^~- ou s — • Il faudrait donc parier 2 • •• 90.89 801 ^

re 799 ou 1 contre 399 -\ — ; la loterie ne donnait

s 70 fois la mise.

1 trouvera de même que la probabilité du terne est

rr, celle du qualerne •? :r^. La loterie ne donnait

|8 ' 5iioo8

55oo fois la mise poiu* le terne, 75000 fois pour le

erne.

J. Nous allons démontrer sur les combinaisons deux rëmes qui nous seront utiles par la suite.

lÉORÈME L Le nombre des combinaisons de m objets n est égal au nombre des combinaisons de ces m objets •nàm — n.

ipposons en effet que l'on ait m numéros dans une î; û l'on en tire w, il en restera m — n dans l'urne; i à chaque combinaison de n numéros correspond une binaison de m — n, et réciproquement. On a donc

î peut d'ailleurs vérifier aisément l'égalité des deux l>res

60 CUAPITUE lU.

çm^n »i{m—\] [n+i) .

car si Ton multiplie les deux termes de la première frac

par le produit 1.2 (m — n), les deux termes delà

conde par .1.2 n, les dénominateurs deviennent ^

et Ton a au numératem* le produit des nombres entiers sécutifs de 1 à m ; il vient de la sorte

pn pm-H l.'2»ù m

**"""* ""1.3 wX 1.2 (w — n)

Par exemple , le nombre des combinaisons de 5 ol 4 à 4 6st égal au nombre des combinaisons de 5 oi 1 à 1 , le nombre des combinaisons de 5 objets 3 à î égal au nombre des combinaisons a à 2.

A3. Théorème II. Le. nombre des combinaisons de m jets n à n est égal au nombre des combinaisons de m objets n à n, plus le nombre des combinaisons de m objets n — 1 à n — 1 .

En effet, les combinaisons de m lettres a, 6, c,... prises n k n^ peuvent être distinguées en deux catégo celles qui ne contiennent pas une certaine lettre k et 0 qui la contiennent. La première catégorie se compose demment des combinaisons des m — 1 premières lettr à n. On obtiendra celles de la seconde catégorie en fon les combinaisons des m — 1 premières lettres n — 1 anet ajoutant à chacune d'elles la lettre k. On a donc

On peut aussi vérifier facilement cette égalité au m de la formule des combinaisons.

COUBlMAISOlfS. (51

Par exemple le nombre des combinaisons de 7 objets «5 à 3est^;al ati nombre des combinaisons de 6 objets 3 à 3, pins le nombre des combinaisons de 6 objets s à s.