DÉTELOPPEMENT DES PUISSANCES ENTIÈRES ET POSITIVES

d'un BINÔME. TERME GÉNÉRAL.

I U. On ssût que le produit de deux polynômes est égal t à la somme des produits obtenus en multipliant chacun des

tomes du multiplicande par chacun des termes du multî- ■ plicateur. En général, le produit de plusieurs polynômes l est la somme des produits obtenus en prenant de toutes les

manières possibles un terme dans chacun des polynômes proposés.

Proposons-nous d'abord d'effectuer le produit des m facteurs binômes

en l'ordonnant par rapport aux puissances décroissantes dex.

Le produit de ces m facteurs binômes est la somme des produits obtenus en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chacun d'eux. Si l'on prend les m premiers termes, on obtient le premier terme a?** du produit. Si on prend le second terme a dans le premier facteur binôme, et le premier terme x dans tous les autres, on obtient le produit ax""* qui est du degré m — 1 ; prenant de ttiême le second terme b dans le second facteur binôme et le premier terme x dans tous les autres, on a bx"^'^ ; en un naot, le second terme de l'un quelconque dos facteurs binômes, combiné avec les premiers termes de tous les autres, donne au produit un terme en .t*""*. Réunissant tous

les autres, nous formerons les termes du degré m que abx"^'^^ acx"^^^ bcx^^^^ etc. Si nous réunis ces termes, nous voyons que x*"*, mis en facteur sera multiplié par la somme des combinaisons dei

des m lettres a, &, A*. Désignons par S, la somi

combinaisons, le troisième terme du produit sei

En prenant de mÊmc les seconds termes dans t conques des factems binômes et les premiers dan autres, on formera les termes du degré m — 3. abcx'^'^y rt6(/.r"*"\ etc. Réunissant ces termes en et appelant S3 la somme des combinaisons trois à

lettres a, 6, fc, on obtient le quatrième terme

produit.

En général, si l'on prend les seconds termes daj conques des facteurs binômes et les pi'emiera m — n autres, on forme les termes du degré m nissant ces termes et représentant par Sn la se

combinaisons nkn des n lettres a, 6, , fc, on i

général S^" " ^^ produit.

Les termes du premier degré s'obtiennent ei les seconds termes dans tous les facteurs binôme

FORMULE DU BINOUE. ' ë3

insi le produit des m facteurs binômes se développe de lanière suivante :

^+8,ctr^' + 3^' + S^x^- + 8^.-,a? + S^.

i. Supposons maintenant que les quantités a, 6, c k,

Qt égales entre elles, le produit des m facteurs binômes

ient {x -^ m)\ Voyons à quoi se réduit le développait : la somme S^ des quantités a, 6, c 1: se réduit à

puisque chacune de ces quantités devient égale à a et 1 y en a m. La lettre S, désigne la somme des combi- K>Ds deux à deux de ces mêmes quantités ; chacune de combinaisons devient égale à a' ; et il y en a un nombre :qaé par le nombre des combinaisons de m lettres deux

eux, soit—^ -; leur somme S, est donc égale à

— a*. De même S, désigne la sonmie des combinai-

s trois à trois ; cliaciine do ces combin<ûsons devenant

le à a' et leur nombre étant — ^-4 » leur

. - mim — i) (m — 2) ,

une teale — ^^ ^-^ a'.

b général S. désigne la somme des combinaisons nkn

m quantités a, b^ c fc; ces quantités devenant égales

, chacune des combinaisons se réduit à a" ; leur nombre

Qt le nombre des combinaisons de m lettres n à n, on a

Enfin , le dernier terme ou le produit des m quantités a, 6, fc se réduit à oT.

connue sous le nom ae formule du binôme. t.iie est fréquemment employée; elle sert à former le dével ment d'une puissance quelconque d'un binôme. Le général, celui qui occupe le n + l' rang duis le déi pement, est, comme nous l'avons dit,