PILES OE BOULETS
Chaque triangle est formé de lignes de boulets disposés
comme l'indique la figure; la première ligne contient i boulet, la seconde 2, la troisième 3, etc.; de sorte que le nombre des boulets contenus dans un triangle ayant m boulets de côté est la somme des m premiers nombres entiers, c'est-à-dire
-^ — • — '". Mais on a
Il en résulte que le nombre total des boulets, contenus dans la pile triangulaire qui a m boulets au côté de la base, est égal à la moitié de la somme des carrés des m premiers nombres, plus la moitié de la somme de ces m premiers nombres. On a donc, en désignant par x le nombre cherché
a Nous avons tiouvé dans le numéro précédent
Oo m déduit
Par exemple, si la pyramide a 8 boulets de côté à la
^j elle renferme -^^^ ou 120 boulets.
Pile à base reclanguïaire.
68. Imaginons une pile ayant pour base un rectangle de ^ boulets d'un côté sur n de l'autre, m étant plus grand
82 CUAPITBG III.
que n; sur la base est placé un second rectangle de
boulets sur n — i ; sur celui-ci u sième rectangle de m — 2 bopl n — s ; et ainsi de suite. On arrivQ f n* rectangle qui a m — (n — 1) boulets à Tuo de 9< sur n — (n — 1) à l'autre, c'est-à-dire m — n+ 1 c^est une Ifgne ou arête de m — n+ i boulets qui f sommet de la pile.
Si l'on redescend du sommet à la base, on trouve < la file supérieure de m — n + 1 boulets ; au-dessous rectangle composé de 2 files renfermant chacune m — boulets; au-dessous un troisième rectangle renf 3 (m — n + 3) boulets et ainsi de suite. En général tangle de rang k & partir du sommet contient k(m-^ boulets; mais on a
Si dans cette égalité on donne à k successivement valeurs 1, 2, 3,...., n, afin d'obtenir les n rectangle se compose la pile, on a
En faisant la somme, on voit que le nombre total d( lets contenus dans la pile rectangulaire est égal à la des carrés des n premiers nombres, plus la sonune nombres multipliée par m ^—n. On a donc, on app le uombre cherché,
TRUMGLB AftlTHIIÉTlQUE. SS
OQ, pins Binplement,
«Mmple,
c(té sur 10 de l'autre, la pile contiendra — '-^ — ou
tfolMm]fit3«
La méthode que nous avons employée revient à décompQier un rectangle quelconque fe(m — n + k) en un carré i* et un rectangle (■i-r-n)k comme l'indique la figure, et il est à remarquer que ce second rectangle a un cété constant m — II, ce qui permet de faire la somme.
Triangk arithmiîique,
U. On appelle triangle arithmétique, w triant de Pascal, le tableau suivant qui renferme les eoefiicienta d^ puissances successives du binôme :
ai
aS
ia6
aïo
84 CHAPliaE HK
La première ligne horizontale renferme les coefficients de la première puissance du binôme a; -|- a, la deuxième les coefficients du développement de (x + a)% la troisième ceux de (x + af; en général la m' ligne horizontale renferme les coefficients du développement de {x + a)*, c'està-dire en mettant à part le premier coefficient i , les nombres de combinaisons de m objets, pris i à i, s à s, «te
En faisant abstraction de la colonne des unités , on vdt que la première colonne verticale contient les nombres de combinaisons une à une de i, a, 3...... objets, la seconde
les nombres de combinaisons deux à deux de s, 3, 4v" objets ; en général la n' colonne (toujours abstraction faite de celle des unités que Ton ne compte pas) contient les nombres de combinaisons nànden, n+i, n-|- s......
objets.
En un mot la m* ligne horizontale renferme les nombres de combinaisons de m objets, la n' colonne verticak les nombres de combinaisons n à n. Ainsi le nombre placé à l'intersection de la m" ligne horizontale et de la w colomie
verticale est G" .
Chaque nombre du triangle arithmétique égale le nomin placé au-dessus de lui, plus le nombre placé à gaw^ dt ce dernier. Ainsi le nombre 35 de la 7** ligne ^le te nombre 20 placé au-dessus de lui, plus le nombre i^ placé à gauche de 20. Ceci résulte de la relation
que nous avons démontrée n** 42 ; C^^ est eflTectîvemeï^^ placé au-dessus de C* dans la même colonne verticale , *
^m-1 ®^^ P^^^ ^ gauche de Cl^^ dans la même ligne ho^' zontale.
TRIATfGLB ARITHMÉTIQUE. 85
propriété sert à la formation du tableau : supportes les trois premières lignes, on dira 3 et i font 4^ font 6, 1 et 3 font 4 ; écrivant à la suite l'unité, on quatrième Hgne. On dira de même 4 et i font 5, ont 10, 4 et 6 font lo, i et 4 font 5, et Ton écrira à
Timité, ce qui donne la cinquième ligne, et ainsi 3. Chaque ligne horizontale se déduit de la ligne sDte.
rHf0RÈii£« La somme des m premiers nombres d'une verticale quelconque est le m* notvhre de la colonne e.
['autres termes, le m* nombre d'une colonne ver- [uelconque est la somme des m premiers nombres )lonne précédente ; ceci résulte de la loi de formartableau. Considérons, par exemple, le nombre 56, i nombre de la troisième colonne (on fait toujours tion de la colonne des unités) ; ce nombre égale %\ », mais 35 égale i5 plus ao, 20 égale 10 plus 10, e 6 plus 4) 4 égale 3 plus 1 ; on a donc
3 nombre 56 est la somme des six premiers nombres enxième colonne.
ispection du tableau on voit que le premier nombre ' colonne verticale se trouve dans la n' ligne hori- ; le second dans la n+ i*, le troisième dans la . En général le m' nombre de la n' colonne vere trouve dans la m + n — 1 ligne horizontale ; c'est
wi -f H i "~~" —————————— ,
M CSAFItlIK Illt
