Les propriétés du triangle de Pascal pènri

trouver immédiatement le nombre des boulets

dans une pile triangtdaire , nombre que nous ax

obtenu par un autre procédé. La première colon

cale comprend les nombres entiers consécutifs, bu

bres figurés du premier ordre. Un triangle de m b

côté étant formé de m files successives, le nombre

lets contenus dans ce triangle est la souuue des m

nombres de la première colonne verticale; c'e

nombre de la seconde colonne, scût, en faisant n s

la formule (A),

Ainsi les nombres i, 3, 6, , de la deuxiè«M

verticale du triangle arithmétique sont les nombi gulaires^ ou les nombres figurés du second or

nombres sont représentés par la formule générale —

Une pile triangulaire de m boulets au côté de formée de m triangles successifs ; si Ton descend di à la base, on voit que la pyramide est la somme de miers nombres triangulaires , c'est-à-dire des m nombres de la deuxième colonne verticale du arithmétique ; c'est le m' nombre de la troisième soit, en faisant n =: 3 dans la formule (i)i

Ainsi les nombres i, 4» lo, *io, 35, , inscrit

troisième colonne verticale sont les nombres pyra

THIAIIGLI ABmUftriQUB. 87

es nombres figurés du troisième ordre. Les nombres de (donne suivante expriment des sommes de pyramidesi îaside^te.

prèe avoir évalué de cette manière la pyramide trlangu- If on (dotient aisément la pyramide à base carrée, a peut décomposer le carré de base» comme l'indique gure du n* 66, en deux triangles équilatéraut ayant, le nier m boulets au côté, le second m — i ; si Ton ima- I chaque carré décomposé de la même manière, on que la pyramide carrée est la réimion de deux pyraes triangulaires ayant, la première m boulets au côté base, la seconde m — i . Le nombre des boulets conte^ dans la pyramide carrée est donc la somme des noms de boulets

mlm-f- 0(**4*3^) • (*'* — i)m(m4* 0 I.ÎI.3 i.a.3

tenus dans les deux pyramides triangulaires, soit, en

plifiant,

m[m + i) (am -^ i) 6 •

4. Gomme dernière application du triangle aritbméle, cherchons la somme des cubes des m premiers nora-

]n cube quelconque m' peut s'écrire

m*=zm[fn* — i)-|-m = (m — i)m(m+ i)-f- wi

nombre (^—0^(^+0 est le m— i* nombre de la

88 CIIAPITIIB III.

troisième colonne verticale du triangle arithroétique. La somme des cubes des m premiers nombres égale donc six fois la somme des m — i premiers nombres de la troisième colonne, plus la somme des m premiers nombres. La somme des m — i premiers nombres de la troisième colonne est le m — i* nombre de la quatrième colonne, soit, en remplaçant m par m — i et n par 4 dans la formule (â),

On a sdnsi pour la somme des cubes des m premiers nooi< bres

Il en résulte que la somme des cubes des m premiers nwnbres égale le carré de la somme de ces m premiers nofDbres.

î PO!fCTIO."f BXPONBIVTIKLLB 89