DBS LOGARITHMES ET DE LEURS USAGES

^ Kttlf A2fT TOUTES LES PUISSANCES d'uN NOMBRE QUELCÏONQUE POSniP, PLUS GRAND OU PLUS PETIT QUE I , ON PEUT REPRO- DUIRE TOUS LES NOMBRES.

6S. Lemme I. Les puissances successives ^ un nombre pîui trand que ï unité vont en croissant et deviennent plus grandes t^ toute quantité donnée.

Soit a une quantité positive supérieure à l'unité. On voit l'abord que ses puissances successives vont en croissant ; ^w on obtient a*^* en multipliant a** par a ; le multiplicaeur a étant plus grand que l'unité, le produit a*"^* est plus Snnd que le multiplicande a**. Je dis maintenant que Les puissances de a augmentent au delà de toute limite. Posons a = 1 -{- a; en développant (i + «)•• suivant la loi du binôme, nous aurons

90 cnki^iniB iv.

Tous les termes du développement sont positifs; A donc on néglige le troisième terme et les termes suivants, on diminue le second membre, et l'on a

Pour rendre la quantité a"* plus grande qu'une quantité donnée A, il suffit évidemment de rendre la quantité i -\-m plus grande que cette quantité ; on déterminera donc l'exposant m de manière à satisfaire à l'inégalité

d'où

Ainsi, lorsque l'exposant m surpasse , il est certate :

que la puissance a"" devient supérieure à la quantité A, si grande qu'elle soit. Donc les puissances successives du nombre a plus grand que l'unité augmentent indéfiniment.

Soit, par exemple, a = i „i ; on peut affirmer que a* surpassera 1 000 si m est plus grand que ^^ ou que 9990.

Mais on n'a pas ainsi les plus petites puissances de a supérieures à 1000.

6i. Lemms II. Ia% puissances suceesHteê fun nombre pf^ petit que Tuniti vont en décroissant et deviennent phn p^ tites que toute quantité donnée.

Le nombre a, étant inférieur à l'unité, peut être rtiprf*

sente par — ; — , et Ton a

PONCTKm BXl»OmilTIELLC. 91

ar^

uffld rexporiam m croit indéfiniment , le dénominateur gmentant indéfiniment, la fraction diminne et tend vers th

)5. Lemme in. La racine d'un nombre supérieur à f unité supérieure à Vunité^ et ton peut prendre Vindice du rad assez grand p&ur que la racine diffère de Vunilê d'une Mité fnoindre que toute quantité donnée. !mt a un nombre supérieur à l'unité. Je dis d'abord

I y a surpasse l'unité \ car un nombre plus petit que lité, élevé à la n' puissance» ne pourrait reproduire le

ibre a plus grand que l'unité. Nous voulons rendre y a fienre à i + «» * étant une quantité donnée très-petite ; 'agit donc de satisfaire à l'inégalité

i la suivante

en vertu du lemme I, si petite que soit «, on peut tou- 8 prendre l'exposant n assez grand pour que (i + *)''

D veut , par exemple , que ya diffère de l'unîté de asdeotooi. On prendra n plus granchjue , c'est-

re plus grand que i ooo.

DftOLLAiRE. Toute puissancc fractionnaire d'un nombre grand que Tunité est plus grande que Vunité. Car

âgoifie y a* ; le nombre a étant supérieur à l'unité^ sa

puissance a** est supérieure à l'unité, et la racine de cette dernière quantité est aussi supérieiure à l'imité.

66. Lemme IV. Les racines d'un nombte inférieur à stmi inférieures à T unité , et ïan peut prendre IHnike is radical assez grand pour qMC la racine diffère de fuwU d^une quantité moindre que toute quantité donnée.

Si le nombre a est ihférieur à l'unité, ya sera aussi inférieure à l'unité ; car un nombre supérieur à l'unité, ékfé à la n' puissance, ne pourrait reproduire le nombre a inférieur à l'unité; d'autre part, le nombre a, inférieure

l'unité, peut s'écrire sous la forme •-; , a! étant supérieur i

l'unité, et l'on a

Le dénominateur tendant vers l'unité, quand l'indice n du radical augmente indéRniment, la fraction tend elle-mèffle vers l'unité.

Corollaire. Toute puissance fractionnaire d'un nmbn plus petit que Tunité est plus petite que Vunité.

67. Théorème. La fonction a' varie S une manière ewAnue^ quand x croit d'une manière continue.

On appelle fonction en mathématiques une expression qui contient une lettre désignant une quantité variaHc. L'expression ax* — 4^ + 5 est une fonction enti^ de b variable x. L'expression a' est une fonction exponentidli de x; on la nomme ainsi parce qae la variable or est en exposant.

Nous supposons le nombre a positif et plus grand que

FONCTION EXPONENTIELLE. 08

lité* Je dis d'abord que lorsque la variable x croit, la :tion a' croît. En effet, si l'on donne à la variable x un 'oifisement A, la fonction devient a'^^, et éprouve une ation marquée par

i a^ est supérieure à l'unité, parce que toute puissance I nombre a supérieur à l'unité esl elle-même supérieure mité; donc la différence a**** — a' est positive, et par 3 o^^ est plus grande que a'. Ainsi, quand a est plus id que l'unité , la fonction a' croit en même temps que uriablex.

) dis maintenant que l'on peut donner à la variable x iccroissement h assez petit pour que la fonction a' wxve un accroissement plus petit qu'une quantité dona. En effet, supposons h plus petit qu'une fraction

a forme -, n étant un entier très-grand; en vertu du

ne m, on peut prendre n assez grand pour que a^

la diffère de l'unité d'une quantité plus petite que -;;

naiitité a\ étant moindre que a*^, puisque h est infère à -, différera de l'unité d'ime quantité encore plus

te, et la différence a*^* — a' sera moindre que a* x -z

oc a. Ainsi l'accroissement de la fonction peut être rendu

petit qu'une quantité donnée, si petite qu'elle soit; en

[très termes, lorsque l'accroissement de la variable tend

\ zéro, celui de la fonction tend aussi vers zéro.

ta dit qu'une grandeur varie d'une manière continue

qu'elle ne peut aller d'une valeur à une autre sans

pasaer par toutes les valeurs intermédiaires. Une fonetioi est continue lorsqu'à une variation infiniment petite dok variable correspond une variation infiniment petite de b fonction ; car si la fonction sautait brusquement d'une nb leur à une autre , elle éprouverait une variation finie pov une variation infiniment petite de la variable.

U résulte de ce qui précède que lorsque la variaUes croit d'une manière continue , la foneticm exponentiéUs ap croît aussi d'une manière continue.

Nous avons supposé le nombre positif a plus grand qM l'unité. Supposons-le maintenant plus petit, et poaoM

a = -7 , a' étant supérieur à l'unité. On a

Ix)rsque x croit d'une manière continuel a'* crolt| et pv conséquent a' décroît d'une manière continue.

08. CoBOLLAiRE. Voyous maintenant les valeunparkBquelles passe )a fonction exponentielle a' quand oo M croître x d'une manière continue de — c» à +00. Suppo* sons d'abord a supérieur à l'unité , et faisons orottie 1 de o à -^ c») pour (r = o, on a a^ =" 1; quand «; est ini' niment grand , en vertu du lemme J , a* est aussi infiniment grand; ainsi, quand x croît de 0 à + ^t 1& ^ tion a' croît de 1 à + o^ Faisons maintenant décroître i^ de 0 à — c», et pour cela, posons x= --af^ af étant positive; on a

quand x' croit de o à -{- <x>, a'' croit de i à -f- oo, et pV

FOlfCTIOM BIPONBNTIELLE. 9 6

oséquent a* décroît de i à o. En résumé , lorsque la vaor X croU d'une manière continue de — oo à -f od, a mt supérieur à l'unité , la fonction a' croit d'une manière atinue de o à + oo. n est à remarquer que la fonction flse par toutes les valeurs positives et qu'elle ne passe l'une fois par chacune d'elles, puisqu'elle va constamment augmentant.

Considérons maintenant le cas où le nombre a est infé-

mr à l'unité, et posons a = — , a' étant supérieur à l'uté, ce qui donne

) voit que lorsque x croit de o à + oo, a'« croissant de li + oo^ 0" décroit de i à o, et que , lorsque x décroit de ^•r-oo» a'* décroissant de i à o, a' croit de i à + oo. tti, quand x croit d'une manière continue de — cx> à + oo , (tant inférieur à l'unité, la fonction a* décroît d'une mars continue de + c^ à o. La fonction passe encore par lies les valeurs positives et une seule fois par chacune

nés.

19. Remarque. Nous pouvons maintenant donner d'une niftre très-nette la signification de l'exposant incommenilAs dont nous avons déjà dit quelques mots (n* 18).

it d^t et pour préciser, supposons a supérieur à l'ué; le nombre incommensurable v/2 est la limite com-

na de deux nombres fractionnaires — et — ^^^, qui

Sèrent entre eux d'une quantité aussi petite qu'on veut,

• dont les carrés comprennent 2 ; en remplaçant y^ par 3S nombres approchés , on obtiendra deux séries de puis-

sances fractionnaires a** et a " , les premières plus petites | que les secondes , et telles que leur différence peut être rendue plus petite qu'une quantité donnée; il existe donc entre ces deux séries de grandeurs une grandeur déterminée qui en est la limite commune ; c'est cette limite que

désigne a!^*.