Le polynôme
f(x)==mX,x^-' + (m-- i) K,x^' + + A^,
coefficient de A dans le développement de f{x + k)^ *
nomme la dérivée du polynôme proposé. On la fwo*
d'après cette règle très-simple : Pour avoir la dérivée <f «*
poiynôine entier, muUipliez chaque ternie par Texpow»*
de X dans ce terme ^ et diminuez ensuite cet exposant t^
unité.
h* Le polynôme f'i^)^ coefficient de — dans le dévelc^J
pement, se déduit du polynôme f'{x) suivant la même l
'appelle pour cette raison dérivée de la dérivée, ou dériseconde du polynôme proposé.
.e polynôme ^f"{x) se déduit de même du polynôme c) suivant la loi ordinaire de dérivation ; c'est la déride la dérivée seconde, ou la dérivée troisième du polyne proposé, et ainsi de suite.
iC polynôme proposé étant du degré wi, sa dérivée preîre est du degré m — i , sa dérivée seconde du degré — a, sa dérivée troisième de degré m — 3, et ainsi de be, chaque dérivation diminuant d'une unité le degré. dérivée de Tordre m est du degré zéro; c'est une conute. Les dérivées suivantes sont nulles. Ainsi un poly- De du degré m a m dérivées.
Exemple.
f[x) = x^ + 5wc' — 7X -f- ^•
^ appliquant la règle énoncée «plus haut, on obtient les ivées successives :
f[x) == 3a:' + \ox — 7,
Q est à remarquer que le terme constant du polynôme >po8é n'entre pas dans la dérivée ; que les deux derniers mes n'entrent pas dans la seconde dérivée, etc. Le preer terme entre seul dans la dernière dérivée.
DÉRIVÉE d'une fonction QUELCONQUE EST LA LIMITE VERS LAQUELLE TEND LE RAPPORT DE L* ACCROISSEMENT DE LA PONCTION A l'aCCROLSSEMENT DE LA VARIABLE, LORSQUE CELUI-CI TEND VERS ZÉRO.
8A. Nous avons vu que, lorsque dans une fonction
tl0 CRAPITRS V.
entière f{x) on donne à la variable x raocrooeai fonction devient
f[xJth)=f[x)Jtf\x) * + n^) ^ + + /^->(*]
Elle éprouve une variation ou un accroissement
On appelle accroissement, en mathématiques, la d'une quantité, que cette variation soit positive tive. Si Taccroissement ft de la variable est r accroissement k de la fonction est aussi trës-pft somme d'un nombre déterminé de quantités ixi si le premier tend vers zéro, le second tend aussi Ainsi à un accroissement infiniment petit de 1 correspond un accroissement infiniment petit de k on en conclut qu'une fonction entière par rapport d'une manière continue, quand x varie d'une ma] tinue.
Prenons maintenant le rapport de Tacc^'oissen fonction à l'accroissement de la variable, nous au
Si l'on fait tendre h vers zéro, k tend ausâ vers 1
on voit que leur rapport r- tend vers une quant
minée /'(x). Ainsi la dérivée d'une fonction enti* limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissëti fonction à l'accroissement de la variable 1 lorsqii tend vers zéro.
DtUlVÉES^ lli
B propriété de la dérivée d'une fonction entière a été omme définition de la dérivée d'une fonction con- [ulconque. Ainsi nous dirons que la âérMiB éfune » etmHnuê M la Kmile vers laquelle tend le rapport àntuement àe la fonction à f aecroiêsetneni ie la ta-quMd et hrf-d tend vere zéro.
peat fidie comprendre, à Vaide d'une figure, com- 0 tafpott des accroissements tend en ^éral vers Doitt finis et détenninée. Soit y = f{x) la fonction fée. Traçons dans un plan deux droites fixes OX et OY,
Tune horizontale , l'autre verticale ; à partir^ du point 0 portons sur la première une longueur OP égale à une valeur quelconque de la variable x; au point P élevons une perpendiculaire sur laquelle nous prendrons ugueur PM égale à la valeur correspondante de la m y, et opérons de même pour chaque valeur de x. action étant continue, le lieu des points M ainsi is formera une courbe qui représentera la marche Tonction. Afin d* étendre ce mode de représentation à les valeurs, on convient de porter les valeurs po- ( de a; à droite du point 0, les valeurs négatives à e ; et de même on' porte la valeur de y sur la perpenirë, au-dessus si elle est positive, au-dessous si elle gative.
a posé , donnons à j? un accroissement PP' = A, la on éprouvera un accroissement k représenté par la jnce M'D entre les deux perpendiculaires ou ordonnieÈ es MP et WP. Traçons la sécante MM'; dans l6
k triangle rectangle MM'D, le rapport t- est égal i la tangente de l'angle M'MD ou de l'angle P que fait cette sécante avec l'axe horizontal OX. Supposons maintenant que ^a^ j croissement A tende vers zéro , le point M' se rapprodien indéfiniment du point M, et la sécante, tournant autour du point M, tendra vers une position limite HT ({ui est la tangente à la courbe au point M. Or, si petit
k soit h , le rapport j- reste toujours égal à tang p ; mm j
l'angle p tend vers la limite a, angle de la tangente Ht
k avec l'horizontale ; donc le rapport r- tend vers la limite
tang a.
RÈGLES POUR TROUVER LA DÉRIVÉE d'uNE SOMME, d'uN PRODUIT»
d'une puissance, d'un quotient, de fonctions dont us dérivées sont connues.
Dérivée (tune somme. .
85. Soient w, r, w diverses fonctions continues de U variable a?, y leur somme algébrique
Désignons pai- le symbole ^x l'accroissement que l'on donne à la variable x, par am, Ar, Ato, Ay, les variations ou accroissements qui en résultent pour les fonctions ti, t?, tr,ï» (la lettre a indique en général une variation ou une diff<^ rence). Nous convenons aussi de représenter les dérivées de ces fonctions par les notations u\ v'; lo', y', accentuant simplement les lettres qui désignent les fonctions.
DiRlVÉES. 118
h a éridemment
Ay = Ati -j- ^^ — ^^' i Ton divise tous les termes par ùlx « il vient
Ay ^** i ^^ ^^
àx àx àx Aa? '
posons maintenant que l'accroissement Jix de la va- )le tende vers zéro , les accroissements correspondants à99 àw^ ày des fonctions tendront aussi vers zéro ; le
port — tendra vers une limite qui , par définition , est
érivée de la fonction u , dérivée que nous représentons
II' ; les rapports -i^ , r^ , ~ , tendront de même vers
ÛX oJC DkX
limites qui sont les dérivées des fonctions r, t€, y, et aura
inâ la dérivée iuM iomme algébrique est la $(mme des 'lûiei des diverses fonctions qui la composent. ^après la règle énoncée pour la dérivation d'un polyle entier, on voit que cette dérivée est la somme des ivéoB des dififérents termes du polynôme.
Dérivée d'un produit.
A. Gonmdérons d'abord un produit de deux fonctions
y = uv.
'on donne à la variable x l'accroissement àx , les fonc- ^ u, r, y éprouvent des accroissements correspondants
114 CHÀHITtlB V.
Au» Ai;, Ay, et Ton a
y + ^y = (u + ^u){v + àv),
ou , en effectuaDt la mulUplicatioQ et supprimant ^$ les deux membres les quantités égales y et uv,
Ay sz u^v -(- vAu -l" Au.At;. ^
Divisons tous les termes par ^, il vient
Av At; , Au , Au ^
Si l'accroissement ax de la variable x tend vers zéro, les
rapports ^» r^i rf tendent vers <Jes limites qm sont les
dérivées u\ t/, y' des fonctions ti, v, y ; le troisième terme du second membre devient nul , parce que le premier 6c-
teur — tend vers une yslexxr finie u'% tandis que le second
tend vers zéro. On a donc
la âirwéfi i'un produit de deux fociêHTs égale h frmm facteur multiplii par la dérivée du eeçùnid « pM k iHiM multiplié par la dérivée du premier.
Considérons maintenant un produit de trois fonctions
y = vvw.
Si l'on regarde le produit uv des deux premières comme ne formant qu'un seul facteur, et si l'on applique la r^^^ précédente , on a
BD développant la dérivée (ut?)' du produit ut, il vient
y' = uwd + w\^v' + vu'),
jf = hum;' -f mi;!/ + vw^i.
Ainsi, la dértt^a Sun produit de plusieurs facteurs est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de ékaque facteur par le produit de tous les autres.
Exemples.
y=(aj: — 5) (ftp 4" 7) + (4^ + 7^ — 5)a = a4^' — \2X — ^i.
y'z=zx^{x* + 1)3 + a^(5x— i)^ + (x* + 1) (3j:— î)5x^ = i8x* — 5a:*+ i2X^ — Sx*.
Dérivée d'un quotient.
87, SoH la quotient de deux fonctions
U fonction ii est le produit des deux fonctions v et y ; si l'on prend la dérivée du produit u ^ Vif 9 d'après la règle précédente, il vient
d*où l'on déduit
^i en remplaçant dans le numérateur y par - ,
116 CHAPITBB y.
- Vtil — vxf
^ — ïi—
Ainsi, la dérivée d'un quotient égale le dénominaleur tmiltipKé par la dérivée du numérateur^ moins le numiratm multiplié par la dérivée du dénominateur, ceiie différm» étant divisée par le carré du dénominateur.
Exemples.
^- [x+xY ~[x+ir
, 5a?' — 3ar + 4
, __ (ar*— i)(ioar— 3)— (5a?* — 5j? + 4)aa? 3g» — ig3f+3
^■"a* + aV + a:*' . — 3x(a* 4* ^*^* 4* ^*) — (^' — ^) (a^*^ + 4^)
ax(a?* — aa'j:* — aa*)
Dérivée d'util ptiiMaïu^e.
