i -i , ti

y' = - u^ tt' = - 1< ■u' =

fu'

Exemples.

fx' ^ X* ^ ^ X*

av^2jr' — 4j5* + y'=(a«-|-j:*)vra« — ^x'+a^V^ — x* j — - — - = =:

j/ssinla-^ bx'^Y'^mbof"'^ c= rnnbxT^ *(« + bxY~^.

'y=fl+77= nz + 'i = a + bx "^ — cx • + dir%

DÉRIVÉE d'ITNE FONCTION DE PONCTION.

B9. *Soit y une foDCtion /(ti) de la quantité u qui est elleime une fonction de la variable x; par l'intermédiaire la variable u, y pouira être considérée comme une iction de v; c'est ce que Ton nomme une fonciion de iclûm.

Si Ton donne à la variable x Taccroissement Ax, il en lulte pour u un accroissement Au, et pour y un accroissent ày. On a évidemment

Ax Ati Ax*

Lorsque l'accroissement ax de la variable tend vers 2éro, ccroissement Au, et par suite Taccroissement Ay, tendent

am vers zéro ; la limite du rapport -^ est la dérivée y'

y considérée comme fonction de x; la limite du rappoit

est la dérivée l*{u) de la fonction /(te), c'est-à-dire de y

120 CflAPITïlR V.

considérée comme fonction de la variable u ; enfin la liraite

du rapport — est la dérivé u' de la fonction u de a?. On a donc

Ainsi la ièrwie d'une fonction de fonction e$i égaie aupr^ duit des dérivées des fonctions qui la composent.

Ce principe peut être généralisé. Soit y une fonction /(r) de la quantité v, qui est une fonction (p(u) de la quantité v, qui est elle-même une fonction de x; par l'intermédiaire des quantités r et u, y est finalement une fonction de x dont nous cherchons la dérivée. On a

Az/ ÀV ÂV Au

Ax At; A?/ Ao?'

et, en passant à la limite,

La règle établie plus haut, pour trouver la dérivée f une fonction u"*, est un cas particulier du théorème que nous venons de démontrer sur les fonctions de fonctions.