Soit la fonction
y = sin X.
Si l'on donne à la variable x l'accroissement ft, il en résa^^ pour la fonction l'accroissement
k = sin {x -\-h) — sin a?.
En prenant le rapport des deux accroissements ettransf^^
ntia différence des sinus en produit, il vient
in*
* sin [x-\-h) — sin a: "* a
3 sin - cos (x + - J
. A , sin -
Ijiiand Taccroissement h de la variable tend vers zéro ,
sm - • .
rapport — jt— du sinus à Tare - tend vers Tunité, tandis e le second facteur se réduit à cosâp; le rapport - tend
lie vers une limite égale à cos or , et Ton a
y = cos X.
isi la dérivée du sinus est le cosinus.
Dérivée du cosinus.
>1. Soit la fonction
a de la même manière
* 008(a? + «) — cosar %
. A sm-
— a sin -sin (a:+ -)
i22 ciiAi>iTnE '
et, en passant h. la limite.
/ =: — 3in X.
Ainsi la dérivée du cosinus est le sinus pris ■ iraire.
Au moyen de ce qui précède, on obtient dérivées successives du sinus ou du coûnus.
y = 8inj;,
y = co8X,
S' = cosar,
y' = -8in..
^ = — siiix.
!/' — — cos.
y" = — Cûsx,
y".= 8ina:, ,
fft"> = 8in*,
On voit que les dérivées se t^produisËlil pé' de quatre en quatre.
Dérivées de la langentt ef de ta atai
02. On obtient la dérivée de la foocliou // = tangx, en prenant la dérivée du quotient , i
De même la cotau.)
a pour dériv"
■ni.r.r \.x dk i.x ncnilvUv.
lent A, hi fonction
Térenco a'* — i
i.\ ïnoin-
rM
12i. CHAPITRB f«
se termine dans le premier ou dans le quatrième quadrant, on prendra le ^igne +; s'il se termine dans le second oa dans le troisième, on prendra le signe — •
9&. La dérivée de la fonction inverse
y=zsrccosx
s'obtient de la même manière. On a, en effet,
et , en prenant les dérivées des 4eux membres ,
— sinyx^si; d'où l'on déduit
On mettra devant le radical le signe de sin y. 96. Considérons enfin la fonction inverse
y = arc tango;.
on a
tangy = ar,
et , en prenant les dérivées des deux membres ,
cos'y d'où
y = cos*y.
Mais on sait que
COS'y = — r-T — -r- = — ; \\
^ i + tang*y i + a?"
0t«tVÉM. tSft
