La fonction logarithmique

y = logo:

est l'inverse de la fonction exponentielle. Si a dés base du système de logarithmes , on a

Prenons les dérivées des deux membres d'après la 1 nous venons de démontrer, en regardant a^ comn fonction de fonction ; il vient

«•LaXj/^i,

d'où

a^ha

En remplaçant a' par x, et remarquant que la quantité *est le module M du système de logarithmes (n"" 77) , on a

mfiyi

xLa x'

Nie est la dérivée de la fonction logarithmique.

GcMisidérons comme cas particulier la fonction logalitbidqiiB népérienne

le module étant l'unité, on a

90. Nous ayons trouvé les dérivées des fonctions simples <[Qe l'on considère ordinairement en mathématiques ; il est lécesaaire de les apprendre par cosur ; le tableau suivant firmet de les embrasser d'un coup d'œil :

y=a?*, y' = mx*""*, m étant quelconque ,

y=8Înx, y' = cosa?,

y=cosa;, y' = — sîna:,

,=.t«ngx, y=^.

y = arc sin X , y' = — - — . 1 ^^ supposant l'arc x

v/i — s^ \ compris entre o

^=arcco8a?, y= — ■==: \ et-,

VI — a^

CHAPtTHË V.

y=istctmgx.

y' = a'La,

y = logx,

î'-zLa'

y — la.

100. Les fonctions complexes pouvant être considâréei comme des fonctions de fonctions , on calculera leurs dérivées d'après la loi connue. En voici quelques exemples:

!• y=sinx'. Si Ton pose u = aî*, on a y = sintfet l'on voit que y est une fonction de fonction. L'applicatioD du théorème donne

2* y = e*** *. Si l'on pose u = sin x^ on a encore une fonction de fonction y = «", qui admet pour dérivée

S» y =«•«"»'. Si l'on pose « = aî% r=siriti, onaune fonction de fonction y = e*' plus compliquée que les précédentes ; le même théorème donne

y' = e*. cosw. ax=2a:e*****cosa:*.

4« y = L (a? + y'i +x'). En posant u =x + ^i+*'» on a la fonction de fonction y = Lu , qui admet pour dérivée

** x+v/r+r? VHP?

DÉRIVÉR8. 129

= Qf. En remarquant que, d'après la définition même mthmes népériens , on a identiquement x = e^, on écrire cette fonction sous la forme y = e***; si Ton = xLx^ on a la fonction de fonction y = e*, qui admet srivée

y'=eV=e'*(l +Lp) —sTii +Lx).

'faatntude, on arrive à décomposer les fonctions cornpar la pensée, sans employer les lettres auxiliaires

rCnON EST CROISSANTE OU DÉCROISSANTE SUIVANT QUE SA DÉRIVÉE EST POSITIVE OU NÉGATIVE.

Soit f{x) une fonction continue, f{x) sa dérivée, vous appelé dérivée d'une fonction la limite du rapl'accroissement k de la fonction à l'accroissement h

ûriable, quand ces accroissements tendent vers zéro.

que h est très-petit, le rapport r- diffère très-peu de

le; on a donc

|=nx) + e,

une quantité très-petite qui s'annule avec A. La \ f(fl)^ ayant une valeur fmîe, est plus grande que itité infiniment petite « en valeur absolue, et par aent donne son signe à la parenthèse. En suppo-

po^tive, c'est-à-dire la variable x croissante, on le la variation k de la fonction aura le signe de la ' /*(«); si la dérivée est positive, k sera positive et

130 CHAPITRK V.

ia fonction ira en croissant; si la dérivée est négitiys, L sera négative et la fonction ira en décroissant.

1 02. Lorsqu'une fonction, après avoir augmenté, déciob ensuite, elle passe par un maximum^ c'est-à-dire pir vêa valeur plus grande que les valeurs voisines. Au contraire, lorsque la fonction, après avoir diminué, croit ensuite, elle passe par un minimum^ c'est-à-dire par tuie vakar plus petite que les valeurs voisines.

Dans le premier cas, la fonction commençant par croître, la dérivée est d'abord positive ; la fonction décroissant ensuite , la dérivée devient négative. Ainsi , quand la fonctioa passe par un maximum, la dérivée change de signe, de positive devenant négative.

Dans le second cas, la fonction commençant par décrottre, la dérivée est d'abord négative ; la fonction croissant ensuite , la dérivée devient positive. Ainsi, quand la foDOtion passe par un minimum, la dérivée change de signe, de négative devenant positive.

Les réciproques sont vraies : lorsque la dérivée change de signe, la fonction passe par un maximum ou par un minimum. Si la dérivée de positive devient négative, la fonction, croissant d'abord pour décroître ensuite, passe par un maximum ; si la dérivée de négative devient positive, la fonction, décroissant d'abord pour croître ensuite, passe par un minimum.

Ordinairement la dérivée d'une fonction continue ot aussi finie et continue ; elle change de signe en paannt par la valeur intermédiaire zéro. On obtiendra donc les valeoff de X qui rendent la fonction maximum ou minimum tf cherchant les valeurs de â; qui annulent la drivée, et ^ en outre hii font éprouver un changement de signe.

DtRlYÉRS. 1 1l

Exemples.

lOS. Qdution L Quel est le plus grand de tous les eylindres circulaires droits ayant même surface totale?

Appelons x le rayon de la base, y la hauteur, et repré- KDtons la surface totale donnée par 2ita*; nous avons la nlatkm

oa plus simplement

* Lb vdame Y du cylindre a pour expression

V = lur'y, etsiTon remplace la hauteur y par sa valeur y =

tirée de la relation précédente,

V = 'Kx[a* — ar')= it (à^x — a?') ;

c'est une fonction de la variable indépendante x. La dérivée de cette fonction

i^immle pour

Les valeurs de a; et de y devant rester positives, le rayon « de la base peut varier de zéro à a. A Tinspection de la dirivée, on voit qu'elle est positive pour les valeurs de x

inférieures à -p, négative pour les valeurs de x supérieures

^ "7=; si donc on fait croître a? de o à -7=, la dérivée

m CIUPITRB V.

étant positive, le volume augmente ; x croissant ensuite de -r

à a, la dérivée devient négative et le volume diminue. Le volume passe donc par une valeur maximum qu'il acquiert

' pour a? = -p ; la valeur correspondante de y est -=.

Ainsi , parmi tous les cylindres de même surface totale , le plus grand est celui qui a sa hauteur égale au diamètre de sa base.

lOA. Question II. Quel est le plus grand de tous les cônes circijdaires droits ayant mêm^ surface totale?

Si Ton appelle x le rayon de la base, y la hauteur, ^* la surface donnée, on a la relation

le volume a pour expression

ou, en remplaçant y par sa valeur

tirée de la relation précédente.

ira

V = —-^ V'a* — aa?'.

Le volume est une fonction de x qui a pour dérivée

3\'a* — aar*)

e dérivée s'annule pour x = -^ Les valeurs de x et de evant rester réelles et positives, x ne peut varier que > à — ti. La variable x croissant de o à - , la dérivée est

itive et le volume augmente; x croissant de - à -=, la

ivée devient négative , et le volume diminue. Le volume se donc par un maximum quand a; = ; la valeur cor-

xmdante de y est y = a^a ; on en déduit pour le côté

3a :ône la valeur — . Ainsi , parmi tous les cônes de même

:ace, le plus grand est celui dans lequel le côté est au

nètre de la base dans le rapport de 3 à 2.