PM X
"" AM "" ^a^ + z*'
. ^ QM c — x
smr =3 -r- =
BM ^bt^^c—xy' il en résulte cette expression de la dérivée
sin t sîn t'
La dérivée sera nulle quand on aura
sin t sin f
Supposons que le point M se déplace de P en Q, c'est-à-dire que la variable x croisse de o à c ; la dérivée est native pour X = o , positive pour x = c; donc la fonction (, décroissant d'abord pour croître ensuite, passe un minimum. C'est ce minimum qui est défini par la relation
sm t V
smt' V
on retrouve ainsi la loi ordinaire de la réfraction de 1* liunière. »
107. Question V. Étudier la variation de la surface du secteur spbérique de volume constant.
Appelons x le rayon du secteur, y la hauteur de b c** lotte qui lui sert de base , et supposons que le volume soit
DÉaiVÊES. 1S7
à celui d'une sphère de rayon donné a ; nous aurons jation
lus simplement
aa*
urface du secteur a pour expression i Ton remplace y par sa valeur,
e fonction a pour dérivée
l£rivée change de signe lorsque le sens de l'inégalité
ige ; msds cette inégalité se ramène à la suivante
x* — 1 2a'x' + aoa* ^0.
^lant à zéro, on arrive à l'équation trinôme (!'• partie,
admet les deux racines réelles a^ ^ et a\j\o.
Dur que la surface S soit réelle, il faut que la valeur
1S8 châpitrb V.
de X Boit plus grande que a ; ainsi , le rayon x peut taïkr de a à + cy:>. Lorsque a? = a , on a y = 2a, S = 4«a"; le secteur se réduit à une sphère de rayon a. Si Ton donne à X une valeur un peu plus grande que a, le premier tenue de S' ayant une valeur positive très-grande» ladM?6eeel positive , et par conséquent la surface S augmente quand % croit à partir de a.
Supposons que x croisse de a à la plus petite racine ays; la dérivée , conservant le même signe , reste positive et la
surface augmente; quand a? dépasse ay 2, la dérivée, s*évanouissant et changeant de signe , devient négative , et li surface diminue. La surface passe donc par une vakur
maximum ir:a*\fh pour x = a\^ ; la valeur correspcmdante de y étant égale à celle de a;, le secteur prend alors la forme d*une demi-sphère. Dans l'intervalle « la vahv de y, qui va toujours en diminuant, était supérieure i celle de x et le secteur plus grand qu'un hémisphère.
Quand x croit de la plus petite racine à la plus grande, la dérivée reste négative et la surface diminue $ qniad »
dépasse ay 10, la dérivée, s* évanouissant une seconde f(BS et changeant de signe , devient positive et la surface augmente. La surface passe donc par un minimum i«a*yioo pour a; = ay 1 0 ; la hauteur y de la calotte est alors le dnquiiffie du rayon.
Quand x croit à l'infini à partir de ayio , la dérifée reste constamment positive et la surface augmente indéfiniment.
En résumant ce qui précède , on voit que le secteur de volume constant a d'abord la forme d'ime sphère eotiëfef et alors sa surface est la plus petite possible. La spbire
iovre de plus en plus , et la surface du secteur augmente iqu'à ce qu'il se réduise à une moitié de sphère. Le secir s'allonge ensuite, et la surface diminue jusqu'à ce que hauteur de la calotte ne soU que le cinquième du rayon, secteur continuant à s'allonger indéfiniment, la surface gmente à partir de ce minimum et augmente indéfini-
Dtft9tې tun9 fimetUm de phaieurs wiriaVles.
108. Jusqu'ici nous n'avons considéré que des fonctions me seule variable ; nous allons dire quelques mots des étions de plusieurs variables. Soit f{x, y) une fonction deux variables indépendantes a? et y (on nonune va» h\es indépendantes des quantités qui varient d'une ma- ^ tout à fait arbitraire et indépendamment l'une de otre) . Si , regardant y comme une constante , nous prêts la dérivée de la fonction par rapport à la variable x , 08 aurons ce qu'on appelle la dérMe partielle de la fonc- B par rapport à x. De même , si regardant x comme une Qstante , nous prenons la dérivée par rapport à la vaible y, nous aurons la dérivée partielle par rapport à y. iBes sont les deux dérivées partielles du premier ordre ! la foncUon proposée ; nous les désignerons par les notions fg et f^, l'indice indiquant la lettre par rapport à quelle on dérive.
Si Ton dérive deux fois successivement, soit deux fois ir rapport à x , soit une fois rapport à a? et une sende fois par rapport à y, soit deux fois par rapport à y, i obtient trois dérivées partielles du second ordre que Qs désignerons par les notations fl^ , f^ , fy^. Et ainsi de
lâO OUAPITKE V,
Par exemple ^ soit la fonctiou
f{x, y) = 'ôx' — ^xy+y^ — Zx + 4-y + a.
En décrivant par rapport à j; ou par rapport à y, on a les deux dérivées partielles du premier ordre
A= — 5^ + ay + 4.
En décrivant une seconde fois, soit par rapport à â;, soit par rapport à y, on forme les trois dérivées partielles du second ordre
Les dérivées suivantes sont nulles.
Eùniemion du théorème des fonctions de fondions.
109. Soit une fonction f{u^ v) de deux quantités u et V qui sont elles-mêmes des fonctions de la variable x; il est clair que y est en définitive une fonction de la variable X. On demande sa dérivée. Si Ton donne à la variable X l'accroissement ao:, il en résulte pour u et » les accroissements ^u et àv^ et pour y T accroissement ày^ ^ Ton a
^y = f{u + ^^> ^ +^v) — f{u, v) , ou
^y=f(^ + ^^fV-{' Ay) — f{u, v + ^v)+ f[Uy V + àv) —f{«, vj. En divisant par Ax, il vient
Ay f{u -f Am, t; + ^^) — fi^f ^ + ^^) ^«
^a: Aw ax
^ f[u,v + àv)-'f{u,v)^^àv
Ar A.r
ipposons maintenant que àx tende vers zéro , les rapirts — et -- tendent vers les dérivées u' et v' des fonc-
Ax aX
muetv. Dans le rapport
fiu.v + àv) -• f{u, y)
Yoit que, u restant constante, la variable v éprouve ccroissement àv ; la limite de ce rapport est donc la déée partielle f^{u, v) de la fonction /"(u, v) par rapport ). On voit de même que, dans le rapport
quantité o -f Av restant constante , la variable u éprouve ccroissement au ; la limite de ce rapport est la dérivée rtielle de la fonction f{u^t + Av) par rapport à u ; mais fonction ^(u, v -f àv) devenant égale à /*(ti, t), puisque s'évanouit, cette dérivée sera /^«(u, v). On a donc
isi la dérivée d'une fonction de deux fonctions u et r me même variable x égale la dérivée partielle de la fonc- Q proposée par rapport à u multipliée par la dérivée «, plus la dérivée partielle par rapport à v multipliée r la dérivée de v.
Exemples.
[• Prenons comme exemple la fonction y = a;', dont is avons déjà trouvé la dérivée (n* 100). Si l'on pose =: j;, v = x^ on a y = u* ; d'où , en appliquant le théole précédent ,
y = rM*"*tt' + M* .Lu . v'=.r* + afLr=af (i +Lx).
2* y s= (nn o:)^. Posant « 2= ma âi, f> s i^, on «m 4e même y — u!" y d'où
Dérivées des fondions implicites»
110. On dit qu une fonction est implicite kiraqu'elletft fiée à la variable par une équation non réaolM. Ains r équation
dans laquelle le premier membre est une fonction quelconque des deux variables x et y, définit une fonetk» implicite y de X. Si Ton pouvait résoudre Téquation, on en déduirait y = <p(x) et la fonction deviendrait explicite.
On peut obtenir aisément la dérivée d'une fonelkm implicite. En effet, prenons la dérivée de la foncti<m ^(«, jf)t * dans laquelle nous regardons x comme la variable indépendante , et y comme une fonction de x ; cette dérivée, d'après le théorème précédent, est égale à
Comme la fonction f{x^ y) est constamment miUet sa dériTéi est aussi constamment nulle, et l'on a l'équaticm
d'où l'on déduit
Telle est l'expression de la dérivée de la fonction implicite y.
DÉRIYÉES. lAS
Exemples.
1* Considérons la fonction implicite y définie par Téqua-
05* — 4^ + y* + ax = o.
1 «1 d'après la formule que nous venons d'établir,
— 4x + ay y — 2x
L'équation proposée , étant du second degré par rapport y, peut être résolue , ce qui donne
=r ax di ^3x* — ar.
^ foDCtion devenant ainsi explicite , on trouve directement dérivée t
^Zx* — ax
I remplaçant y par sa valeur dans la première expression ' ]f', on obtient la seconde.
DES FONCnOlfS PRIMITIVES.
111. On appelle fonction primitive d'une fonction donnée « fonction dont la fonction proposée est la dérivée. Nous ons démontrer d* abord Texistence de la fonction primi- B, qu'on puisse ou non l'exprimer 4iu moyen des signes ralgèbm.
ihh
Soit y = f{x) la fonction proposée ; représentoQs cette fonction par une courbe , comme nous l'avons expUqoé au n* 8A9 en portant sur la ligne horizontale OX, à partir
du point 0, des longueurs égales aux diverses valeurs de la variable a;, et élevant des perpepdiculaires ou ordooDées égales aux valeurs correspondantes de y. Considérons l'aire ABPM comptée à partir d'une ordonnée fixe AB jusqu'à une ordonnée mobile MP ; cette aire est une fonction de X ; car, si l'on fait croître x, l'ordonnée MP s'éloignant , l'aire augmente ; l'aire , variant avec x , est donc une fonction de x ; nous désignerons cette fonction par ¥{x). Je vais démontrer que la fonction F(x), ainsi définie, est la fonction primitive de la fonction proposée /{x). Concevons, en effet, que Ton donne à a? un accroissement PF = ft; l'accroissement k de la fonction F (a;) sera l'aire du trapèze curviligne MPPTU' ; par les points M et M' nnenons les horizontales MD et M'E ; on voit que l'aire du trapèze curviligne est comprise entre celles des rectangles MPFD et EPFM'; ces rectangles ont pour mesure MPx». MTxA; on a donc
MPx/t<A<MT'xA,
et , en divisant par h ,
MP <x<M'F.
Quand h tend vers zéro, l'ordonnée MP devient égale à MP;
PMCTIOMB PRIMITIVES. 1A6
lite de -r ou la dérivée F(x) est égale à l'ordon-
'esi*à-dire à f(x) . Ainsi la fonction proposée f{ûr) ;?ée de la fonction ¥{x); et réciproquement, la (x) est la fonction primitive de l\x). te de là qu'une fonction continue quelconque a m jNrimitive , que Ton peut représenter par une • Si à la fonction primitive ¥{x) on ajoute une arbitraire G , on aura encore une fonction primi- -|-G; car la constante ne donne rien dans la
anONS QUI ONT DES DÉaiVÉES ÉGALES NE PEUVENT DIFFÉRER QUE PAR UNE CONSTANTE.
$ VUS faire voir d'abord que lorsqu'une fonction vée constamment nulle, cette fonction est con-
ons la fonction figurée par une ligne. Si l'on désigne par a l'angle que fait la tangente à la ligne en un point quelconque avec Thorizontale OX, nous
savons (n* 84) que la dérivée de
la fonction représente tang ou Puis^ que la dérivée est constamment mgle a est lui-même constamment nul. Ainsi la chacun de ses points a sa tangente horizontale ; lit être qu'une ligne droite horizontale AB. L'or- DP de chacun des points de cette ligne droite est I ; on en conclut que la fonction proposée a une estante.
140 GOAPITRB Vi
Mais il est bon de démontrer jalgébriquement cette p* position.
Soit f{x) une fonction ; en donnant à x raocroissemènt k^ noua avons (n^ 101) la relation
f{x+h)-nx)^k[r{x)+t],
t s*évanouissan( avec h. Si la dérivée est conBtanimentitttIlit cette relation se réduit à
ie considère deux valeurs quelconques x^ et X de la Tiriable x^ X étant supposée plus grande que x^ ; je partage rintervalle X — x^enn parties égales, et j'appelle h chacone de ces parties. En appliquant la relation pl^écéâéntd ft tts divers éléments , on a
f(Xo + à)-f{x,) = h.,,
f(x, + 2h)^f{x, + h)::=ilU,,
chacune des quantités e^, c^, e^^i s'évanouissaot
avec A.
Si Ton ajoute toutes ces égalités , les quantités intennédiaires disparaissent et l'on trouve
Appelons e la plus grande des quantités &^, t,« • .«é* €B i** leur absolue ; leur somme sera évidemment moindre (fH^^^ et le second membre plus petit que tiAs ou que (X^^«Pe)**P*^ que nh égale X — Xg\ on aura donc
nx)-f[x,)<(x-x,)z.
FORCTIOÎIS PRIHITIVES. 1A7
taiigiiioiui Aiaintenaat que Y on partage Tintei^valle con» dst X ~> jp^ en un nombre de parties de plus en plus grand ; grandeur A des parties diminuera indéfînimenti toutes les intités *^t Sj v»»M et par conséquent la plus grande d'en- I elles If tendront simultanément vers léro» et le pro<dt (X — œ^)t s'évanouira. Il en résulte que la dilKtance X) — f{x^) est nulle, c'est-à-dire que les valeurs /"(X) et x^ de la fonction pour deux Valeurs quelconques de la iriablc sont égales ; ainsi la fonction conserve toujours même valeur : c'est une constante.
lis» Soient msûntenant Aeux fonctions F(x) et <p(x),
fant même dérivée f{x), je dis que ces deux fonctions ne
eavent différer que par une Constante. En effet , on a, par
ypothëse,
il'on feti%&che eed deux égalités Tune de rauirè^ St vient
[uaf'(jp) — F(x) est la dérivée de la fonction f^{x) —F (a?) ; uisque cette dérivée est constamment nulle, la fonction est oogtante; donc
m. Nous avons dit (n° 111) que lorsqu'on a trouvé une inction primitive ¥{x) de la fonction proposée, et que l'on
ajoute une constante arbitraire , on obtient une nouvelle >nction primitive F(x) -{- C. 11 résulte de ce qui précède que on forme ainsi toutes les fonctions primitives de la fonction reposée, puisque toute autre fonction primitive ne diffère e la {Hremière que par une constante. Cette fonction pri-
1AS CHIPITRB Y,
mitive ¥{x) + C^ renfermant une constante arbitraire, s'appelle, pour cette raison , fonction primitive ginéraU de la fonction proposée.
On peut déterminer la constante de manière que la fonction primitive ait une valeur donnée A pour une valeur donnée a de x; on posera
d'où
Si l'on veut , par exemple , que la fonction primitive s'aanule pour â? = a , on posera
d'où
et la fonction primitive devient f{x) — F (a).
La représentation géométrique de la fonction primitive montre bien que cette fonction renferme une constante arbitraire ; car on peut compter l'aire à partir d'une ordonnée initiale AB quelconque (n*" 111), et quand on change la position de cette ordonnée initiale, on modifie évidemment Faire d'une quantité constante. Déterminer la constante de manière que la fonction primitive s'annule pour a? = a, c'est compter Taire à partir de l'ordonnée initiale qui correspond kx = a.
REVENIR DE LA DÉRIVéE A LA FONCTION PRIMITIVE , DANS LE CAS OÙ CETTE OPÉRATION PEUT SE FAIRE IMMÉDUTEMENT.
115. Considérons d'abord une fonction entière Ao^* + Ata?**-* + A,a?**-* + + A^-iX + A^, ;
PONCTIONS PRilimVBS. liO
ction primitive est
+ ^tîI + f^iî 4. + ^J!Lj£: + A^ + G;
Q prenant la dérivée de ce polynôme , on retrouve le yme proposé. Ainsi, pour avoir la fonction primitive fonction entière^ on augmente tous les exposants d*une et on divise chaque terme par f exposant ainsi aug- Cette opération élève le degré d'une unité, exemple, le polynôme
: fonction primitive générale
. veut que la fonction primitive s'annule pour a; = o,
iC = o.
nème règle s'applique aux exposants quelconques.
Exemples.
f[x) = y^r = jr" , F(x) = |^"« + C.
a » 4-1 f[x) = — '=ax • + ^Aa: » — arfar*.
F(x) = ar""» — bx'^+ dxr* + C.
150 CHAPiTRB V.
116. Voici encore d'autres cas où l'on peut inm^erûn* inédiatement 1^ fonction primitive :
V f(x) = '-, F(a;) = Lx + C,
r f(x) sa ^- ' i , F{a?) ac arc îmgx + C,
y f{x) aa >- , F(ar) 2^ arc sin ap + G >
4* /"(x) = j V{x) = — arc cosar + C,
7* f{x) = cosx, F(j;) = 6Înx + C,
8" f{x)=r.smxj F(a:) = — cosx + C,
®' ^^^^^^' F(^) = taDgx + C,
*^' ^^''^^iE^' F(x) = -cotx + C,
ir /-(j^j^iî!!^, F(x) = séca; + C,
cosx ir f[x) =: -— - , F(x) 5= — coséc X + c.
Souvent le théorème sur les fonctions de fonctions pernM de connaître la fonction positive.
FONGTIORS mMITlVES. 161
^'^ =5?^ ^*~7^' ^^"^ ^~a'^^ taP8 f + C ,
oit ici que, le namératenr ta étant la dérivée du déinateur o* + »*, la fonction , | est la dériva de
* ^^^^ = ./iï^,' f(x)=v/?t:?'+c,
«ax
sinox .
• /•(«) = cos or , F(x) = hC,
• ^(*^ = li' F(x)=LL»+C,
'• /'<»)=7:f?î' F(*) = arctang{e') + C.
152 CttAPlTRB V.
APPUGilTION DE LA THÉORIE DES DÉRIVÉES AU OtVELOrPEiaHT DES FONCTIONS L(l -f x) ET aVC ian§ X EN SÉUES GONTII- GENTES, ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES GROISSAimS ] DE X. LORSQUE CETTE VALEUR RESTE GOMPRISE EllTU
