La fonction L{i + x) a pour dérivée — p— . En
effectuant la division de i par i -^ x^ei ordonnant lé quotient suivant les puissances croissantes de x , on troure
= 1 — a: + x* — j:*+ qza:*^*qi
La somme des n premiers termes
I — ar + x* — a;*+ ipa:*"*
du second membre est la dérivée du polynôme X x' x* a?* X*
que nous désignerons par f{x) . Nous représenterons d'ailleurs par±:ç(a:) la différence qui existe entre les deux fonctions L(i +0;) et /"(x), c'est-à-dire que nous poserons
zi:cp(x)=L(i-fx)-Aa;),
d'où
Ux^x) = f(x)±^[x).
En convenant de prendre le signe + ou le signe — , suivant que n est pair ou impair, et nous remarquerons que la fono-
raiiGTioits PRiMitivEs. 15S
(s), conmie les deux fonctions dont elle est la diflë-
, s'annale avec la variable x.
prenant la dérivée des deux membres on a
IIS simplement
pposons d'abord x positive; la valeur de la fonction -étant positive et inférieure à af^ on aura
eux expressions admettent respectivement pour foncprimitives
Dction <p(x), ayant sa dérivée positive, va en croissant x; comme elle s'évanouit pour a; = o, elle prend des irs poâtives croissantes quand x croit à partir de o. ^
motion ^{pc) -j-^, ayant sa dérivée négative, va
ontraire en décroissant quand x croit; comme elle noiiit aussi avec or, elle prend des valeurs négatives d X croit à partir de o ; on a donc
•f^^) ~ Tir: < °*
pour toutes les valeurs positives de la variable x^
la fonction t^{x) a une valeur positive infémnre à
Si Ton désigne par 6 y ne certaine fraction moindre que l'unité, on pourra représenter la valeur de ^(2) par
— ; — , et Ton aura n+ 1
, , , , a: x^ , x^ x^ . ic* , «x*^*
Cette égalité est vraie, cruelle que soit la valeur positife ! attribuée à x. Supposons mdntenant que la valeur de s soit inférieure on au plus égale à l'unité ; si Ton fait augmentern
indéfiniment , le ternie complémentaire tend vers
zéro; on ep conclut que la son^me des n pvemieira tfirmde la série
tend vers la limite L(i + a;), et Ton obtient ainsi le développement de L(i '\- x) en série convergente
rg* M* aflm <M«
pour toutes les valeurs positives de x inférieures ou épl^ à l'unité.
118. Donnons maintenant à la variable une valeur nég^' tive — X comprise entre o et — 1 , et proposons-noos ^ développer la fonction — L(i — x\ dans laquelle x a ^ valeur positive inférieure à l'unité. Cette fonction a po^
dérivée , expression qui se développe de la mm^^
FONGTJOKS famiTlVES. .156
wîvmto
La somme des n premiers termes du second membre est la dérivée du polpôme
que nous désignerons par f{x). Nous représenterons par {[x) la différence entre les deux fonctions — L(i — x) et %x)^ c'est-à-dire que nous poserons
•<p(ar)= — L(i — jr) — /(or), tToù
-L(i-x) = /l[x)+cp(x),
£o prenant les dérivées des deux membres , on a
et nous remarquerons que la fonction ^x\ comme les deux fonctions dont elle est la différence, s'annule avec la variable or.
Désignons par a une quantité très-petite, mais déter- HÙDôe, et supposons que x varie de o à i — « ; la valeur de
la fonction sera positive et inférieure à — (car le dé-
nominateur -i — a? est plus grand que «), et Ton aura
166 CHAPITRK V.
Ces deux expressions admettent respectivement pour {(motions primitives
<i{x) et ç(z)-^j^.
En raisonnant comme précédemment, on voit que la (tmtion ff(x) y ayant sa dérivée positive et s'évanouissant avec Xi prend des valeurs positives croissantes quand x croit de
0 à 1 — a, et que la fonction y(aî) — . , ayant sadén-
vée négative et s* évanouissant avec x^ prend des valeais négatives. Ainsi la fonction ^(x) a une valeur positive infé-
rieure à , — ; — r— ; on peut la représenter par -7 — r—r»
en désignant par 6 une fraction, et l'on a
L(.-x)=-+-++ + 7+(irf>'
pour toutes les valeurs de x inférieures à 1 — «.Si Ton fait augmenter n indéfiniment, le terme complémentaire tend vers zéro; d'oii Ton conclut que la somme des 11 premiers termes de la série
tend vers la limite — L(i — x). On obtient de cette n»- , nière le développement de la fonction — L(i — x) en série convergente
pour toutes les valeurs de x inférieures à 1 — a. Comme 1^ quantité «, dont nous avons fait usage dans la démonstr»*'
fONGTlONa PEIlflTIYES. 1(7
m, peat être prise aussi petite que l'on veut, le dévelopsnent a lieu pour toutes les valeurs de x inférieures à inité. On a ainsi
mr toutes les valeurs de x inférieures à l'unité. Bemarquons que l'égalité (2) se déduit de l'égalité (1), I changeant x en — x» La série (1) représente donc la Dction L(i + â(), â( variant de — i exclusivement à + i dosivement
DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION afC tUng X.
119. Afin de préciser le sens de la fonction arckmg x^ ras supposerons qu'elle s'évanouit avec x et qu'elle trie ensuite d'une manière continue avec cette variais La méthode qui nous a donné le développement de (i + ^) iioos conduira aus^ au développement de la foncon are tang x.
La fonction arciang x a pour dérivée , . Parlaxli-
îâon, cette dérivée se développe de la manière suivante :
" r=: 1 —a;* -i- jp* — ^' -L , qr x***"* "**
U Bomme des n premiers termes
1 ^"^ «fc "T" X' ^^ X "T" ••••••• «^ X
dû second membre est la dérivée du polpôme
1 3 "^ 5 7 "*■ "^an— i'
158 ctiAMîiie V.
que nous désigt^ronspar f{x). Notid t«{)té8enteronsd'aiIkiM par ± t [x) la différence qui existe eutre les deuk fonctloiB arc tang x et f{x) , c'est-à-dire que nous poserons
±:<p(aî)= arc lang a? — /(a:) ,
en convenant de prendre le signe + ou le signe *«suivaBt que n est pair ou impair, et noua remarquerona que la fisction ff (x)^ comme les deux fonctions dont elle est la dilTé* renée» s'annule ay^ la variable œ.
En prenant les dérivées des deux membres, on a
ou plus fiîmpletoeat
La quantité ^ , étant positive et inférieure à x^^ on a les inégalités
La fonction (p(a;), ayant sa dérivée positive, croît avec Jt; comme elle s'évanouit pour a? = o, elle prend des valeurs positives croissantes , quand x croît à partir de féro. U
fonction f^'x) -j— , ayant sa dérivée négative, décroît
au contraire quand x croit ; comme elle s'évanouit aussi avec a?, elle prend des valeurs négatives quand a? croit à partir de zéro. Ou a donc, pour toutes les valeurs positives de«»
/çtiH-l
ç(ar) ; — < 0,
FONCTlOnS PRIMftlVBS. IS^
m la foncUon ^{x) a une valeur positive inférieure à --j— , et l'on pourra écrire
i désignant par 0 une quantité positive plus petite que mité. On en déduit
arc tang x = f[x) =fc — -r— ,
X a^ , X* x^^ . Ojr»*+^ arc tang :r= - — -5- + -rr — q= ±
1 3 5 an — 1 an + i
Si Ton suppose maintenant que la variable x soit inféflwe ou Ml plus égale à Tunité , la quantité
aîT+T
SDd vers zéro, quand n augmente indéfiniment, et par suite i fonction f{x) tend vers une limite égale à arc tang a: ; on donc , pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et 1 ,
(3) arc tang 0?= — + — — .....
Cette série convient aussi aux valeurs négatives de x «qprisea €mtre o et — 1 » puisque les deux membres chan^* sait de signe avec x^ en conservant la môme valeur ab- X)lue. Ainsi la série (3) est convergente et représente la fonction arc tang x , quand x varie de — 1 et + 1 inclusivement.
CALCUL DES LOGARITHMES AU MOYEN DE LA SÉRIE QUI DOliNE LE LOGARITHME DE n + 1 9 QUAND ON CONNAIt CELUI DE n. — CALCUL DES LOGARITHMES NÉPÉRIENS. — VALEUR DC . MODULE DES LOGARITHMES VULGAIRES* — CALCUL DES LOGA- RITHMES VULGAIRES.
120. Nous nous proposons de trouver une sârie donnant la différence entre les logarithmes de deux nonibres entiers consécutif s n et n 4- 1 • Puisque
^n+l)-Ln = LÎ^=L(l + l),
A dans la série (1) on remplace x par la fraction -, on a
L(n+i)— Ln = r + - — -— . . .
Mais cette série ne converge pas assez rapidement, et il faudrait prendre un grand nombre de termes pour avoir les logarithmes avec une certaine approximation.
On arrive à une série beaucoup plus rapidement convergente de la manière suivante : Si Ton retranche Tune de Tauître les deux séries obtenues précédemment
les termes de degré pair se retranchent, ceux de degré impair s'ajoutent, et l'on a
L(.+*)-M-x]=Li±| = a(f + ^ + ^ + ).
FONCTIONS PRIMITIVES. i6i
)90DS maintenant
Où
t remplaçons x par sa valeur, nous obtiendrons la série
(4) L^ = L(« + i)-Ln
" ^Lan + 1 "*■ 3(3n + i)» "*" 5.(an + i)» "*" J'
[ni converge d'autant plus rapidement que le nombre n st plus grand.
Calcul dfs logarithnes népériens,
121. C'est an moyen de la série {h) que Ton calcule left ogarithmes népériens.
En faisant n = i dans cette série , on a
h commencera par réduire en décimales les fractions
i*S>* V* ***"' ^^ divisant successivement par 9; puis
*n ]gs divisera par les nombres impairs* 1, 3, 5, 7,
es dix premiers termes donnent, avec dix décimales «actes,
La = 0;693i4 71806
% dans la série (A) on fait n = 2, on a
On abrège le calcul en remarquant que diviser par aS
IrtS CHAPITRE V.
revient à diviser par loo et à multiplier par 4* Lbs sept premiers termes donnent, avec dix décimales exactes,
On obtient L4 en doublant La, d'où
On calculera ensuite L5 par la série
Les fractions -, -s, -î, , s'obtiemient en divisant
par 3 les fractions déjà calculées z^xiixi* ^^ ^
premiers termes donnent avec dix décimales exactes
On obtiendra L6 en ajoutant L3 et La. On CBktûml^ pai* la série en faisant n=6 , et ainsi de suite indéfiniment
Calcul des logarithmes vulgaires.
122. Quand on veut calculer les logarithmes vulgaires, il faut d'abord chercher le module. Pour cela on ealeile k logarithme népérien de 2, au moyen de la série
comme nous l'avons expliqué dans le numéro précédât,
ce qui donne
La = 0,69314 71806,
En doublant ce logarithme, on obtient le logarithme népérien de 4 ?
