FONCTIONS PRIMITIVES. M
On détermine ensuite le logarithme népérien de 5 au oyen de la série
I remarquant que ces nouvelles fractions se déduisent de
Iles qui ont servi au calcul de L2 , comme nous l'ayons
pliqué.
Une fois qu'on a trouvé La et L5 , l'addition de ces deux
garithmes donne
Lio = a^3o!i58 5o93o.
On sait que le module M des logarithmes vulgaires eet pi à I — (n"" 77) ; divisant 1 par Lio , on aura la varur de ce module
11 = 0,43499 44S>9' En le doublant» on a
ftM = 0^86868 89658.
On obtient les logarithmes vulgaires en multipliant par le lodole les logarithmes népériens. La série (A) devient ainsi
») log(n+i) — logn
"^^^^ Lan+ 1 "*" 3{an+ 1)» "^ 5(an+ i)*^ "*" J*
est cette série que l'on emploiera pour calculer les loga- Aimes vulgaires, en séparant les termes et l'écrivant sous forme
sM aM aM ,
) log(n+i)— logn= — ; 1-— — ; — Tz+z-f — i — s+
^^ ' ' ° an+1 * 3(an4-i)' ' 5(2n+i)'
On obtiendra le logarithme vulgaire de 2 , en multîpUant
16& CHAPITRR V.
par M le logarithme népérien de 9 qui a servi à trouver le module. On calculera log 3 par la série
log3 — loga=-^ + 5^, + ^+ .....
On calculera d'abord les fractions -r-, -r^-, -m ••••• ^
divisant successivement par aS, plus simplement en multipliant par 4 et divisant par i oo ; on divisera ces fractioos
respectivement par i , 3, 5 , ; en ajoutant les résultats,
on aura log 3. On aura log 4 en doublant 1(^ a. On obtiendra log 5 , et en multipliant par M le logarithme nèçkrien de 5 qui a servi à trouver le module. On trouTen log 6 en ajoutant log a et log 3. On calculera 1(^ 7 par It série
, ^ , ^ aM , aM , aM ,
On aura log 8 en ajoutant log 4 et log a , log 9 en donblant log 3 ; on sait d'ailleurs que log 1 0 = 1 • On calculera log 1 1 par la série , et ainsi de suite indéfiniment.
La série (6) convergeant de plus en plus à mesure qoc Ton s'élève dans l'échelle des nombres entiers, les cakuk deviendront bientôt extrêmement rapides. On aura, p» exemple , le logarithme de 1 o 1 avec huit décimales exactes au moyen de deux termes seulement
, aM , aM
log ICI — a = H r j.
° aoi 3.aoi'
On calculera d'abord le premier terme en divisant nombre connu aM par aoi; puis on déduira le secc^^ terme du premier en divisant celui-ci par 3.aoi' ^ par \9.\9.od.
Le premier temie de la série suffira pour le logàritbine le 1001,
log looi — 3 = ,
" aooi
et à plus forte raison au delà.
GilXUL DU RAPPOBT DE LA GIBGONFÉBBNCE AU DIAMÈTRE
d'après la Série arc lang x.
128. Nous avons obtenu le développement de la fonction art tang x en série convergente
(7) arctaDgx= "T + t —
pour toutes les valeurs de x inférieure ou égale à l'unité. Cette série permet de calculer la longueur d'un arc dont oa connaît la tangente ; il en résulte plusieurs manières de déterminer le rapport de la circonférence au diamètre, l"" L'arc qui a pour tangente l'unité , est la moitié du
quadrant ou j. En faisant x = i dans la série , on a donc
Mais cette série ne converge pas assez rapidement et il faudrait un trop grand nombre de termes pour obtenir r, ^vec qfuelque approximation. On a recours à d'autres procédés.
2* En appelant a l'arc qui a pour tangente -, on a la
îjérie
ï î--uJ
iM CHAPITMB Y.
qjox coïïv^TgiB^ pli}3 rapidement que la précédente , €i qui
donne une portion a du demi-quadrant 7. Pour avoir li
