THÉORIE DES ÉQUATIONS
GOMMENT VARIE UNE FONCTION ENTIÈRE f[x) QUAND X VARIK d'une manière continue entre — Qo ET + Qo.
126. Lemme I. Quand un polynôme entier en x ne con-tient pa$ de terme constant , on peut donner à x une valeur Qjsez petite pour que le polynôme ail une valeur plus pelUe Que toute quantité donnée.
Soit
us polynôme entier en x^ ne renfermant pas de terme constant, et ordonné suivant les puissances croissantes de x. Je dis qu'on peut donner à x une valeur assez petite, abstraction faîte du signe , pour que la valeur absolue du po- 'ynôme soit plus petite qu'une quantité donnée «, si petite ïu'elle soit. En efiet , si l'on désigne par M le plus grand coefficient en valeur absolue, et par y la valerfr absolue du Polynôme, on a évidemment
puisqu'on remplace tous les coefficients par le plus grand d'entre eux et qu'on a pris tous les termes positivement; on peut aussi prolonger la série à rinfini, en supposant a; inférieure à l'unité , afin de rendre la série convei^nte. Faisons la somme des termes , il vient
Mx
La question sera satisfaite si l'on rend le second membre plus petit que « ; posons donc
Ma:
d'oi^
M + flt'
Ainsi , pour toutes les valeurs de x comprises entre — 2-7-
et 4- «I ■ 9 le polyn^e aura une valemr comprise Mtit
— a et + a.
Par exemple , la valeur du polynôme
2X — 3ar* -}- 7a?' + 9a:* — 4^'
sera comprise entre — 0,1 et + 0,1, quand la variable i
sera comprise entre et -^ , ou plus simplemoit
entre — 0,01 et + 0,01 r
126. Lemme il Quand un polynôme entier est arioimi par rapport aux puissances croissantes dex, on peut donner à la variable une valeur assez petite pour que le fremiif terme soit plus grand qne la somme de tous les autres y et par conséquent donne son signe au polynôme.
