THÉORIE DIS ÉQUATIONS
ilynôme proposé ; je le mets sous la forme y=zaf{a'{'bX'\'€X* -{- ).
\ Tenons de démontrer que l'on peot donner à w mie or assez petite numériquement pour que la Taleur ab- 3 du polynôme
ôx+c^H"
inférieure à celle de a. Pour ces valeurs de j? , le pre-
' terme du polynôme proposé sera plus grand que la
ne de tous les autres et donnera son signe au poly-
u* exemple , le premier terme du polynôme
plus grand que la somme de tous les autres pour les ors de a; comprises entre et -f — .
17. Lemme III. Quand un polynAme entier e$i ordonné rapport aux puissances décroissantes de x^ on peut 1er à X une valeur oêsez grande pour que le premier w soit plus grand que la somme de tous les autres f et , eoméquent , donne son signe au polynAme, ait le polynôme
tant x"^ en facteur, je l'écris sous la forme
Le polynôme entre parenthèse est ordonné par rapport aux puissances croissantes de la variable -^ en vertu du lemme
précédent, on peut prendre - assez petit, c*est-à-&e t
assez grand , en valeur absolue , pour que le premier terme soit plus grand que la somme de tous les autres , et, par conséquent , donne son signe au polynôme. Par exemple , le premier terme du polynôme
ax» — gjp* — ax^ + So^ — 5ic + 7
stirpassera la somme de tous les autres pour toutes les va-
leurs de - plus petites que = ^ , et par conaéqnent
pour toutes les valeurs de x plus grandes que 6. en valeur absolue.
128. Théorème. Une fonction entière f (x) varie iunf manière continue quand x varie éCune manière continue.
Si Ton donne à la variable x un accroissement A, b fonction éprouve l'accroissement (n* 82) .
Ax+fc)-/'(x)=A^)*+Çr*'+f^**+
Le second membre étant un polynôme entier en A qui oe renferme pas de terme constant , on ne peut donner à * une valeur numérique assez petite pour que ce polynôme ail une valeur absolue plus petite que toute quantité donnée* Ainsi , à un accroissement infiniment petit de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction , et , par conséqaent , lorsque la variable x varie d'une manière continue , la fonction varie aussi d'une manière continue.
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K Remarque. U est aisé de voir que si la variable a snte indéâniment en valeur absolue , la fonction augt aussi indéfiniment En effet , mettons le polynôme
f(x) = axr + bxr^^+cx'^-^+
a forme
1 X est très-grand ou - très-petit, la valeur de la
thèse diffère très-peu de la quantité fixe a; le pre^ acteur rr* augmente indéfiniment ; donc le produit deplus grand que toute quantité donnée.
q>osons , pour fixer les idées , le premier coefficient T; lorsque x tend vers -(- oo , le polynôme tend aussi t- en ; lorsque x tend vers — çy> , le polynôme tend - en s'il est de degré impair, et vers + ^ s'il ^st de pair. Ainsi, lorsque x croît de — qo à + co, la foncarie de — oo à + co, si tn est impair ; si m est pair, art de +co pour revenir à +cr>. Dans l'intervalle eut éjM'ouver des alternatives de croissance et de déance,
îigne de la dérivée f'{x) indique si la fonction croît ou It; cette dérivée, étant un polynôme entier en x rve toujours le signe de son premier terme au delà certaine limite , à partir de laquelle la fonction n'éera plus aucune alternative d'augmentation et de diion. En supposant comme précédemment le premier ient positif, la dérivée restera constamment positive fonction ira en augmentant indéfiniment, à partir certaine valeur de x.
130. Ceci résulte de la continuité de la foDCtic plus petit que b, et supposons , <par exemple , q lynflroe f{x) ait une valeur négative pour asî valeur positive pour x = b. Si l'on imagine que
' d'une manière continue de a à 6, la fonction vari manière continue , allant d'une valeur négativ valeur positive; comme elle reste fmie, elle devi sairement , dans l'intervalle , passer par la vale médiaire séro. Ainsi , la fonction f{x) s'annule pou leur de x comprise entre a et 6 ; cette valeur de xi de l'équation f{x) = o.
11 est possible que la fonction passe plusieun zéro dans l'intervalle de a à b; dans ce cas, l'équatî plasieurs racines réelles comprises entre a et b.
Toute fonction finie et continue jouit évidemm même propriété. . •
UnF. ÉQUATION AlGtltRIQUE DE DEGRÉ IHPAIR A UHE R&CINE R£ELLE.
