On appelle équation algébrique une éqni

THÉORIE DES éqi:atio>s. 179

une valëtlr négative très-grande , le polynAme prend une ifaleur de même signe que celle de son premier terme, t?est-à-dit^ une valeur négative , puisque ce dernier terme est dé degré impair. Au contraire, si l'on donne à x une Trieur positive très-grande , le polynôme prend une valeur positive. Ainsi , quand x varie de — ©^ à + ^» îc polynôme [{x) change de signe et s'annule âû moins une fois; donc l'équation ^ (a?) = o a au moins une racine réelle.

Cette racine réelle a un signe contraire à celui du dernier terme de l'équation. Supposons d'abord que le dernier terme , c'est-à-<lire le terme indépendant de x, soit négatif; poura? = o, le polynôme, se réduisant à son dernier terme, a une valeur négative ; pour une valeur très-grande positive, il a une valeur positive ; donc le polynôme change de signe quand x varie de o à -\-^et^ par conséquent, l'équation admet une racine positive. Supposons maintenant que le dernier terme soit positif ; pour x = — «>, le polynôme est négatif, pour x = o il est positif; il change donc de signe quand x varie de — co à o et , par conséquent, l'équation admet une racine négative.

On peut affirmer, par exemple, que l'équation

a au moins une racine réelle positive, et que l'équation

^ au moins une racine réelle négative.

^iïE ÉQUATION ALGÉBWQUE DE DEGRÉ PAIR , DONT LE DERNIER TERIIl^ EST NÉGATIF , A AU MOINS DEUX RACINES RÉELLES.

1S2. Pour 0? = 0 , le polynôme , se réduisant à son der- ^er terme, a une valeur négative. D'ailleurs, une valeur

180 CHAPITRE YI.

de X très-grande , soit positive , soit négative , rend le polynôme positif, puisque son premier terme , qui est de degré pair, reste toujours positif. Ainsi le polyndme chai^ deux fois de signe , une fois de o à -f oo , une seconde fob de 0 à — co; donc, Téquation admet au moins deux racines réelles, Tune positive , l'autre négative. Par exemple , l'équation

admet au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative.

11 n'est qu'un cas où l'on ne sait pas si l'équation admet des racines réelles : c'est celui où l'équation, étant de degré pair, a son dernier terme positif; car, dans ce cas , le polynôme n des valeurs positives pour ar=o et pour des valeurs de X très-grandes, positives ou négatives. Ainsi, on ne sait pas si l'équation

admet des racines réelles.

TOUTE ÉQUATION ALGÉIUIIQUE f{x) == O , A COEFFICIENTS RÉELS OU IMAGINAIRES DE LA FORME a + b^ — 1 , A UNE RACISB RÉELLE OU IMAGINAIRE DE LA MÊME FORME. — (On De

demandera pas à l'examen la démonstration de ce théorème. )

Nous admettrons ce théorème sans démonstration , nous bornant à en préciser le sens.

Si dans un polynôme entier f{x) on remplace x par la quantité imaginaire a -^ M ^ et que l'on développe chaque puissance de x de la manière indiquée au n* 51, on trouvera une quantité de la forme A -|- Bi ; multipliant

TUÉOfllK DES ÉQUATIONS. 181

puissance par le coefficient , on obtiendra un résultat même forme ; réunissant enfin les parties réelles et les s imaginaires , on arrivera à un résultat final de la P + Qi, Or on dit qu'une quantité imaginaire P + Qî ulle lorsque les deux quantités réelles P et Q sont . \ séparément. Le théorème signifie que l'on peut déaer a et b de telle sorte que Ton ait à la fois P=o, », et la valeur xz=a-{'bi est dite racine de l'équation.

SST RACINE d'une ÉQUATION ALGÉBRIQUE, LE PREMIER MEMBRE EST DIVISIBLE PAR X — a.

S. Soit f{x) un polynôme entier du degré m ordonné apport aux puissances décroissantes de a;, on peut 5r ce polynôme parx — a et pousser l'opération jusce qu'on arrive à un reste indépendant de x. Si l'on lie tf{x) le quotient qui est un polynôme entier du r degré, et R le reste constant, on am*a

égalité est vraie, quelle que soit la valeur de x. Don-

à X la valeur particulière a , le premier terme du

id membre s'évanouit, puisque le facteur a; — a devient

tque l'autre facteur (p(a) conserve une valeur finie;

^nt donc

fia) = R.

, quand on divise un polynôme entier par un binôme de 'me X — a, /e reste de la division est le résultat que ton %t en remplaçant x par a dans ce polynôme. pposons maintenant que a soit racine de l'équation = o ; cela signifie que, si Ton remplace x par a dans le

182 ' CiUPiTiis VI.

premier membre» on obtient un résultat f (a) égal à iiiQ« Donc le reste R est nul , et l'on a

f(x) = {x — a)ff(x).

Ainsi, lor$qM a t$t racine d'une équation àlgihriqfu ' f (x) = 0 , le premier membre est divisible par x — a, Réciprpauement, si le premier membre fst divisible par un binôme de la forme x — a, la quantité i^ est racine (b ïéquation. En effet , dire que le polynôme f{x) est divisible par X — a, c'est dire que le reste constant R auquel on arrive en effectuant la division est nul ; donc la quantité f{a) esl égale à zéro et a est racine.

13A. Nous allons maintenant indiquer tme règle trèssimple pour calculer le quotient.

Soit

le polynôme proposé.

Divisons ce polynôme par x — a»

(Aoa+Ai>r"*~*+A^"*"*+A8a:*»-' +Am

(Bia+A,)a?^-«+A8a:«^» +A«

Ao^?^"* +Bia;^*+B^*.M+BH

(B«-^+Am-i)a:+A« Reste Bm-^a+A*,

Le premier terme du quotient est k^x^^ ; multiplions ce terme par le diviseur x — a, et retranchons du dividende; le produit par x détruit le premier terme du dividende, te produit par — a donne la quantité A^ax*-* qui s'ajoute au second terme ; ainsi le premier reste ou second difidende a pour premier terme (A^a + AJo?*"*, les termes