TBÉORIB DES ÉQUATIONS. IM
Boivaots étant les mêmes que dans le dividende proposé. Si l'on divise ce premier terme par rr, on aura le second lerme B^x^^ du quotient, en représentant pour abréger l^a+Ai par B^ ; multiplions ce second terme par x — a, le iroduit par x détruit le premier ternie du second dividende, ) produit par — adonne la quantité B,a.T*-« qui s'ajoute a second terme ; ainsi le troisième dividende a pour preiier terme (Bja + A,)a5"*-», les termes suivants restant les lèmes que dans le dividende proposé. Si Fon divise ce remier terme par a?, on aura le troisième ternie B^x"*"' du QOtient, en représentant B,a+A, par B, , et ainsi de suite.
Cette loi est générale : on obtient un coefficient guetmque du ^pjLotient en multipliant le coefficient précèdent par
et ajoutant le coefficient du terme de même rang dans le olyndm^ propoêi.
On arrivera ainsi au dernier dividende
(B«-îO + A«.0^+A
[ui donnera le dernier terme B^^^ du quotient, B^.^ re- )résentant la quantité B^, a + A^j ; en multipliant ce lenûer terme par x — a et retranchant du dernier divilende, on aura le reste de la division B„ja + A«,. On >'oitpar là que le reste de la division se forme au moyen du iemier terme du quotient suivant la même loi , en mul- ^pliant le dernier terme du quotient par a et ajoutant le temier terme du dividende.
Les coefficients du quotient, formés d'après cette loi, ont îour valeurs
Bi = A^a + Ai,
B, = Aoa*+A,a + A„
B„-i = A^a"»-* + Ai«"-=4- + Am-i .
IbA CflAVlTKb VI,
et le reste de la division
Exemples.
1» Diviser par x — 5 lé polynôme
ax* — 8ar* + 7J7' — to' + 5^ + la.
L'application de la règle précédente donne le quotient
aar* — ax* + x* — Zx — 4.
Après avoir écrit le premier coei&cient 2, on dira : s multiplié par 5 6 et — 8 — a ; — 2 multipUé par
5 — 6 et + 7 + 1 ; + 1 multiplié par 3 -f'
et — 6 — 5; — 3 multiplié par 3 — 9 et +5.....— 4-
Si l'on multiplie le dernier terme du quotient par 3 et que Ton ajoute le dernier terme 1 2 du dividende, on trouve le reste o; donc 3 est racine deTéquatiop obtenue en égalant le polynôme proposé à zéro.
2* Diviser par a; H- 2 le polynôme
3X* + a?* — lox" — .aa? + 5«
En opérant de la même manière, on trouve le quotient
Icia= — 2, on dira donc : 2 multiplié par — 2.....— 4
et 4- 1 — 3; — 3 multiplié par — 2....* +6ei — lo....*
— 4; — 4 niultiplié par — 2 +8 et — 2 + 6. En
multipliant le dernier terme du quotient par -— 2 et ajou<tant + 5, on obtient le reste — 7 de la division. Donc — 2 n'est pas racine. '
TUÉOillB DES ÉUUATIO.NS. 465
S" Diviser par x — 2 le polynôme
a^ — iZx^ + 7*^* + *5x- + 2X — 8.
Le polynôme n'est pas complet ; il ne contient pas de termes en x\ en x* et en x* ; on imaginera le polynôme complété au moyen de coefficients nuls et écrit sous la forme
a?' + ox'' + ox^ — iZx^ + 7^^ + «^' + *5a:' + ^^ — ^ J puis on appliquera la règle ordinaire. Le quotient est
et le reste nul. Donc 2 est racine.
t^E ÉQUATION ALGÉBRIQUE DU DEGRÉ m A TOUJOURS «l R A- UNES RÉELLES OU IMAGINAIRES, ET ELLE NE PEUT EN AVOIR DAVANTAGE. — DÉCQMPOSITION DU PREMIER MEMBRE £N FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ.
185. Soit f{x) un polynôme entier du degré m. Nous avons admis que l'équation f{x) =0 a toujours une racine a réelle ou imaginaire, et nous avons démontré que le polynôme f{x) est divisible par x — a. En appelant X^ le quotient qui est un polynôme entier du degré m — 1 , on a
Usas l'équation X, = 0 admet de même une racine 6, et le polynôme X^ est divisible par x — b , ce qui donne
ty
le quotient X, étant un polynôme entier du degré m — 2,
18A CflAVlTKb VI.
et le reste de la division
Exemples.
1» Diviser par a? — 5 lé polynôme
L'application de la règle précédente donne le quotient
aar* -— ax* + x* — 3x — 4-
Après avoir écrit le premier coefficient s, on dira : t multiplié par 5 6 et — 8 — a ; — a multiplié par
5 — 6et + 7 + 1 ; + 1 multiplié par 3 +î
et— 6 — 5; — 3 multiplié par 3 — get+S — t
Si l'on multiplie le dernier terme du quotient par 5 et que Ton ajoute le dernier terme i a du dividende, on trouve le reste o ; donc 3 est racine de l'équatiop obtenue en galant le polynôme proposé à zéro.
2* Di\iser par a; H- a le polynôme
ax* + a?* — lox* — .2X + 5.
En opérant de la même manière, on trouve le quotient
ax* — 3x* — 4^+6.
Ici a= — a, on dira donc : a multiplié par — s —4
et 4" 1 — 3; — 3 multiplié par — a....* +6et — lo
— 4; — 4niultiplié par — a +8 et — a + 6. Bn
multipliant le dernier terme du quotient par — a et ajoutant + 5, on obtient le reste — 7 de la division. Donc — « n'est pas racine.
THÉORIB DES ÉQUATIONS. 485
î' Diviser par x — a le polynôme
Le polynôme n'est pas complet; il ne contient pas de «mes en x^^ en x* et en rc' ; on imaginera le polynôme com- )}été au moyen de coeiBcients nuls et écrit sous la forme
x*+ ox' + ox*— i3x' 4- 7*^ + ox^+ i5ar* + ax— 8;
luis on appliquera la règle ordinaire. Le quotient est
x^ + xc^ + ê^— 5x* — 3x» — 6x' + X + 4
t le reste nul. Donc 2 est racine.
il ÉQUATION ALGÉBRIQUE DU DEGRÉ m A TOUJOURS ni RA- CINES RÉELLES OU IMAGINAIRES, ET ELLE NE PEUT EN AVOIR DAVANTAGE. — DÉGQMPOSITION DU PREMIER MEMBRE EN FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ.
135. Soit f{x) un polynôme entier du degré m. Nous roDS admis que l'équation f{x) == o a toujours une racine a ïélle ou imaginaire, et nous avons démontré -que le polyftme f{x) est divisible par x — a. En appelant X, le quoent qui est un polynôme entier du degré m — 1 , on a
^ l'équation X^ = 0 admet de même une racine 6 , et le >lynôme X^ est divisible par x — b , c« qui donne
X, = (x-6)X„ <|uotient X, étant un polynôme entier du degré m—- 2,
168 CIlAPlTIiÈ YI.
1S8» Remarque L — Dans cette démonstration, nous nous appuyx)ns sur ce principe que , pour qu'un produit de plusieurs facteurs soit nul , il est nécessaire et il suffit que l'un des facteurs soit nul. Ce principe est évident quand les facteurs sont réels ; mais il a besoin de quelques explications quand les facteurs sont imaginaires.
On appelle module d'une quantité imaginaire a 4-6/^ le nombre positif ^a* + **•
On dit qu'une quantité imaginaire a + 6^^ — 1 est nulle, quand on a séparément a = o et 6 = o. On voit que, lonqu'une quantité imaginaire est nulle, son module est nul, et que réciproquement, si le module est nul, la quantité imh ginaire est nulle ; car la somme des deux nombres positift a' et b^ ne peut devenir nulle que si ces deux nombres mt nuls séparément.
Considérons le produit de deux quantités imaginaires.
(a + bi) (a' + b'i) = aa' + aVt + lHx'i + bb'i' = {aa'—bb') + (aV + bay;
ce produit a pour module
^[aa'—bb')*'\-(ab'+ba')' = s^a'a" + b'b'^ + a^l/' + *V
On voit par là que le module d'un produit de plusieun facteurs est égal au produit des modules. Ce théorème s étend évidemment à un nombre quelconque des facteurs.
Cela posé , soit le produit de plusieurs quantités imaginaires
Le module du produit étant égal au produit du modale, on a
TBÉORrr DES ÉQUATIONS. JâO
r que le produit soit nul , il est nécessaire et il suiBt que Module soit nul ; ce module étant ^al au produit de leurs nombres positifs , il est nécessaire et il suffit que d'eux 9oit nul » c'est-à-dire que Tune des quantités imaires soit nulle.
SO. Remarque IL — Nous pouvons maintenant piMser mtage le sens du théorème démontré au n* 128. Nous 18 dit que, lorsque deux nombres réels, que nous appelas 0^^ et x^ ,mis à la place de x dans le polynôme f{x) , oentdes résultats de signes contraires, ces*deux noni- I comprennent au moins une racine réelle de Téquation = o. (Il est bieç entendu que l'équation est supposée ir tous ses coflicients réels.) Nous pouvons ajouter que, 3s deux nombres comprennent plus d'une racine , ils en (prennent un nombre impair, et que, en outre, lorsque les membres x^ et x^ donnent des résultats de même signe, le comprennent aucune racine , ou en comprennent un ibre pair.
>ésignons par a, 6, , e les diverses racines comprises
«, et x^ , et écrivons le polynôme f{x) sous la forme
) représentant le produit des facteurs qui correspondent autres racines. En remplaçant x successivement par x^ Dp on a
/lx^) = (x^—a) (x^—b) (x, — e) ç (arj.
18 remarquerons d'abord que <f{x^) et <p(x,) sont des iQtités de même àgne ; autrement , les deux nombres
dOO CHAPITUE Vf.
.Ty et r, comprendraient encore une autre racine , ce qui est contraire à l'hypothèse. Supposons x^ plus petit que x, :
le nombre x^ étant plus grand que les racines a, 6 , e,
chacun des facteurs x^ — a, x^ — 6, x^ — e, est positif; donc f{x^) aie signe de ^{x^). Le nombre x^ étant
plus petit que les racines a, 6, ^, chacun des facteurs
Xq — a, x^ — 6, iCo — tf, est négatif. Si le nombre de CCS
facteurs est pair, [{x^) aura le même signe que «(a?,), et, par conséquent, que f{x^) ; si lé nombre dès facteurs M impair, [{x^) aura un signe contraire à celui de ?(j;J, et par conséquent contraire à celui de f{x^). Ainsi les deux résultats f{x^) et f{x^) ont le même signe ou des signes contraires , selon que le nombre des racines réelles comprises entre x^ et x^ est pair ou impair.
Des considérations géométriques très -simples font bien comprendre cette proposition. Imaginons que Ton représente par une courbe la fonction f{x)^ conune nous Tayons expliqué au n' 84 , en portant sur un axe horizontal OX , i partir d'un point fixe 0 les valeurs de or, et élevant des per-
pendiculaîres ou ordonnées égales aux valeurs correspondantes de la fonction , dans un sens ou dans l'autre, suivant le signe. Les racines réelles de l'équation f[x) = o correspondent aux points où l'ordonnée devient nulle, c'est-à-dire
TlIÉORfK DKS ÉQrATIOXS. lt)l
à la conrbe coupe Taxe OX. Si la courbe coupe Taxe au nnt M , la longueur OM est une racine de Féquation. Supposons que deux valeurs OA et OC de la variable x nnent au polynôme des valeurs de signes contraires — AB + CD ; pour aller du point B au point D, la courbe devra ^éssairement couper Taxe OX en un certain point M, et tpiàtion admettra une racine OM comprise entre OA et OC* 18 la courbe peut couper l'axe en plusieurs points, mme le montre la ligne ponctuée ; dans ce cas elle le ope en un nombre impair de points P , M , Q. Supposons maintenant que les deux valeurs OA et OC de variable u donnent à la fonction des valeurs + AB et -CD de même signe. En général, la courbe ira du point
au point D sans rencontrer Taxe OX , et l'équation n'aura te de racine dans l'intervalle ; si elle coupe l'axe , elle le ►upera en un nombre pair de points M, P, et Téquation ira un nombre pur de racines dans l'intervalle.
RELATIONS ENTRE LES COEïViCnENTS d'uNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE ET LES RACINES.
ihO. Supposons que l'on ait divisé tous les termes de quation par le premier coefTicient, afin de la ramener à forme
af" + A^x^^ 4- A^"^* + + A^ = 0.
Cette équation a m racines a, 6, c^ fty et nous avons
démontré que le premier membre f{x) peut être décomposé en un produit de m facteurs binômes
Si l'on effectue ce produit, il est clair que l'on reprodiDii identiquement le polynôme proposé* Or si l'on appelle S^ la sommé des racines, S, la somme des produits des radoes
deux à deux , S, la somme des produits trois à trois, ,
le produit des m facteurs binômes, d'après la formule établie au n"" A3, se développera de la manière suivante :
En égalant les coefficients des deux polynômes, on a donc
Ainsi, quand le premier coeffieient de V expiation est r«nM« l"" la somme des racines égale le second coefficient changé ii signe; 2"* la somme des produits des racines deux à deux égale le troisième coefficient; i"* la somme des produits des racines trois à trois égale le quatrième coefficient changé (fe signe y et ainsi de suite. Enfin le produit des racines égale U dernier terme pris avec son signe ou un signe contraire ^ suivant que m est pair ou impair.
Exemples.
1** Nous avons déjà reconnu ces relations dans l'équation du second degré (1" partie, n* 145). Si l'on appelle a, t,c, les trois racines d'une équation du troisième degré
a:' 4" A,x* + A,ar + A,^=-o,
THÉORIE DBS ÉQUATIONS. 198
ooa
2* Résoudre une équation du troisième degré , sachant que Tune des racines est égale à la somme des deux autres. Supposons que la racine a soit égale à la somme b + e des deux autres. De la première relation a + b + c=i — A, on
tire ta = — A,, d'où a = ^. La seconde relation s'é-
Clivant a(6+^)4"*<î=A, donne 6c=A, — a*=:A, ^;
donc les deux autres racines sont fournies par Téquation du second degré
A sA
La troisième relation donne bc = ^ = -t-^*
Pour que les racines de l'équation du troisième jouissent
de la propriété énoncée , il faat donc que les coefficients de
l'équation satisfassent à la relation
aA, . Aî
^ftSQU'UllE ÉQUATION ALGÉBRIQUE, DONT LES GOEFnCIENtS 80NT RÉELS, A UNE RACINE IMAGINAIRE DE LA FORME 0 + 6^ — >* EI^ ^ AUSSI POUR RACINE l'eXPRESSION CONJUGUÉE a — b^ — !•
lAl. Nous avons dit que, lorsque dans le polynôme f{x) ^ remplace x par a + 6t , le polynôme acquiert une valeur '^ la forme P + Qt. Remplaçons maintenant a: par la quan- ^té imaginaire conjuguée a-^bi\ si tous les coefficients sont
réels y il est clair que la valeur du polynôme ne différera de la précédente qu'en ce que i aura été changé en«— î; on aura donc la quantité conjuguée P — Qi.
Si a + bi est racine de l'équation f{x) = o, te premier résultat est nul , et Ton a séparément P = o, Q = o ; dooc le second résultat est également nul , et la quantité a— U est aussi racine de Téquation. Ainsi, dans une équftâoD algébrique dont les coefficients sont réels, les racines imaginaires sont conjuguées deux à deux, et par conséquent leur nombre est toujours pair.
Cette proposition n*est vraie que si tous les coefficienis de Téquation sont réels; car s'il y a des côefiipients imaginaires , quand on remplace a + bi par a — 6t , on change le signe / dans la valeur de x , mais non dans les coefficients qui restent constants ; on ne peut plus dire alors que le second résultat sera conjugué du preqojer.
1A2. Nous avons démontré qu'un polynôsoie du <}sgié m se décompose en m facteurs du premier degré ; mi^ ppiaii ces facteurs , les uns sont réels , les autres iniagii)lMra« Supposons les coefficients réels et considérons les deux facteurs
(x — a — bi) [x — a + Ai),
qui correspondent à deux racines imaginsiires ÇQ]Ûugi)éC8; le produit de ces deux facteurs
(ar — aY + b*
est un polynôme réel du second degré.
Ainsi un polynôme à coefficienis refis se décompose #9 /a^ lexirs réels du premier ou du second degré.
143. Remarque. Dans ce qui précède, nousayras sap^ posé liss coetlicients réels; supposons-les t noniqpiitonOTt
