Soit

f{x) = A^ar + A jX**-* + A,a:**-» + + A^^x + A, = o

l'équation proposée, dont nous supposons tous les coefficients commensurables et même entiers ; car, s'ils n'étaient pas entiers, on les rendrait tels en multipliant tous les termes de l'équation par un nombre convenable. Nous avons expliqué (n" 131) comment on effectue la division par os— a du polynôme f(3ci) ordonné par rapport aux puissances décrois-

RACINES COMBIBNSlJUABLEi). 215

saotes àex;\e premier coefficient du quotient est égal au premier coefficient du dividende, et chacun des autres coefficients se forme en multipliant le coefficient précédent par a et ajoutant le coefficient correspondant du dividende. Si tous les coefficients du dividende sont entiers, si, de plus, a est un nombre entier, positif ou négatif, il est clair que le quotient ainsi formé aura aussi tous ses coeflicients entiers, puisqu'on les obtient en combinant des nombres entiers par multiplication et par addition.

Imaginons maintenant qu'ayant ordonné le polynôme par rapport aux puissances croissantes de a;,

on le divise par a — x; le diviseur étant seulement changé de signe , le quotient changera simplement de signe , et par conséquent aura toujours ses coefficients entiers. Effectuons cette division

-iii-i)«+ A«-^4-A„»-^. . . . -♦- A<^ (C.,-,4- A«-,)aî«+ A.^-,aî». . . . + Aoa^

(V.i+C,H-r»+Cm-,a?*...+Ci^-^» + Coar«-«

(Ci+A,)a?«- »+Aoa?'»

1,6 premier coefficient est — ; ce nombre doit être entier ;

^insi, une première condition à laquelle doit satisfaire une ^tMïine entière, c'est de diviser exactement le dernier terme A^ de l'équation. Pour abréger, représentons par C^.^ le premier terme du quotient; multiplions-le par le diviseur a — X et retranchons du dividende ; le produit par a détruira le premier terme Am du dividende , le produit par

216 CUAPITKE VI.

— X s'ajoutera au second terme ; de sorte que le second dividende aura pour premier terme (C^^^ + A«-i) «» les termes suivants restant les mêmes que dans le dividende proposé. Si Ton divise ce premier terme par a, on aura le

second terme '^^ ^ x du quotient : ce decond cerf-

ficient doit être entier ; appelons-le G»-|. Multiplions le second terme C^,aj du quotient par a — ^^ x et retranchons « du dividende ; le produit par a détruit le premier terme du second dividende, le produit par — x s'ajoute au second terme ; de sorte que le troisième dividende van pour premier terme (G^, + A^.Jo?*, les termes suivants restant les mêmes que dans le dividende proposé. Si Ton divise ce premier terme par a , on aura le troisième tenne