Il résulte de ce qui précède que si l'on veut trou

RACINES GOMNENSUEABLES. 217

Ter les racines entières d'une équation à coeflicients entiers ordonnée suivant les puissances décroissantes de x^ on n^cs* sayera que les diviseurs du dernier terme, et l'Qn procédera de la manière suivante :

Bègle. Pour voir si un nombre entier a est racine de <'dftialton , on divisera le dernier terme par ce nombre ; on, ajoutera au quotient le coefficient de C avant-dernier termes et Ton dMsera la somme par a ; on ajoutera au quotient le coefficient du terme précèdent^ et ïon divisera la somme par a, et ainsi de suite. Toutes ces divisions doivent se faire exacte^ wunt y et quand on aura ajouté le coefficient du premier terme de T équation ^ on devra trouver un résultat égala zéro.

Lorsqu'un nombre entier a satisfait à toutes ces conditions, il est évidemment racine de l'équation ; c'est ce qu'indique spécialement la dernière condition , qui exprime que le reste de la division du premier membre de Féquation pai* i — X ou par x-^a est nul. On abaissera alors le degré de Féquation proposée en divisant son premier membre pai* X — a; mais il est à remarquer que le quotient est tout calculé ; les coefficients de ce quotient sont précisément les quotients entiers obtenus dans les opérations précédentes cliangés de signes. On continuera les essais, non plus sur l'équation proposée, mais sur l'équation simplifiée.

Exemples.

I® Trouver les racines entières de l'équation

a?* — x' — Qx^ — a:* + a: + 6 = o.

On commencera par essayer i ; pour que i soit i-acino , il ÙLUi que la somme des coefficients positifs épale celle des

eoeiScients négatifs : c'est ce qui a Heu : donc i est iicine. On divisera le premier membre de l'équation par » — 1 , d'après la règle du n^» 1S5, et l'on aura à considérer l'équation

X* — to' — 6x* — jx — 6 = 0.

Cette équation n'admet plus la racine i ; on essayera — i : si l'on remplace x par — i, on a un résultat nul

donc — 1 est racine. On divisera l'équation par x + it d'iprës la même règle , et l'on aura l'équation

ar* — a?' — 5a?' — x — 6 = o.

Après s'être assuré que cette équation n'admet pour radne ni + 1 ni — i , on essayera les diviseurs du dernier l^ioe 69 pris avec le signe + ou le signe* — . Essayons d'alxHttlle diviseur le plus simple + 2, et pour cela procédons d'après la règle formulée plus haut ; parcourant le polynéme de droite à gauche , nous dirons : le dernier terme — 6 divisé par 2 donne — 3 ; ajoutant le coefficient suivant — 1 , mi a

— 4 qui 9 divisé par 2, donne — 2 : ajoutant le coefficient suivant — 5, on a — 7» qui n'est pas divisible par 2 : ainsi 2 n'est pas racine.

Essayons maintenant — 2 , et écrivons les quotients successifs de droite à gauche ,

Le dernier terme — 6 divisé par — 2 donne + 5 ; ajoutan*

— 1 , on a + 2 qui, divisé par — 2 , donne — 1 ; ajoutant

— 5, on a — 6 qui, divisé par — 2, donne + 5; ajoutant

— 1, on a + 2 qui, divisé par — 2, donne — i;

RACINKS GOmiEIlSUIIABLBS. 219

freuàvt coefficient + i , on obtient pour résultat zéro, tai — s est racine. Les nombres écrits plus haut, cban- ( de signes 9 sont les coefficients du quotient de la division premier membre de l'équation par x+ 2; on écrira ic immédiatement l'équation

Le Domlupe-^t ne peut être une seconde f(MS racine» isqu'il ne divise plus le dernier terme. Les seuls nombres ssayer sont maintenant les diviseurs de 3 , savoir + 3 et 3* Si l'on essaye + 3 , on a les quotients

ac + 3 est racine, et, en divisant par x — 3, on arrive équation du second degré

i a deux racines imaginaires -{- iet — t.

L*équati6n proposée est complètement résolue : ses sept

ânes sont + 1, — 1, — «, + 3» +»»—*•

9* Déterminer les racines entières de l'équation

ax* — iaa?*+ i3x — i5 = o.

ïtis avoir reconnu que + 1 et — 1 ne sont pas racines , > essayera les diviseurs de i5. Voici le tableau des opéra- «ns :

aa:'— iaa:*+ i3x — i5=o

Les nombres + 3 et — 3 ne sont pas racines, mais + ^

CUAPITHB VI.

ï^est. Divisant par x — 5, oh aura à résoudre Téquation do second d^gré

ajT* — SX + 3 — o.

5"" Trouver les racines entières de Téquadou

x^ — 4^^ — ioix' + i4^' + 5o4x + 576 = 0.

Après avoir reconnu que -f 1 et — 1 ne sont pas racines, on essayera les diviseurs de 576, en commençant par les plus faibles.

ioi**4-

lod

Oo

la +

Cette dernière équation n'a plus de racines entières. Aimi l'équation proposée admet deux racines entières — 8 et + 12.