llKMAnQUE. Souvent on diminue beaucoup lenoinbrc

EACI.NBS COIIIIE.NSL'RABLES. 221

des edsais eir cherchant des limites qui comprennent toutes les racines de l'équation proposée. On aj^lle limiie iupérkure des radnes positives d'une équation, un nombre jltas grand que la'plus grande racine positive. Considérons d'abord une équation qui ne présente qu'une seole variation

x* + ax* — 7X* — Sx — 60 = 0. .

Cette équation, n'ayant qu'une variation, n'admet qu'une seule racine positive a. Imaginons que l'on fasse croître œ de zéro à -{- ^ao; tant que x reste inférieur à la racine a, le polyn6me conserve une valeur négative. Dès que x dépasse a, le polynôme devient positif; l'équation n'ayant pas d'autre racine positive, le polynôme ne change {dus de »gne et par conséquent reste constamment positif au delà de a. On en conclut que toute quantité qui rend le polynôme positif est plus grande que a, ce qui donne une limite supérieure de la racine positive. Dans l'exemple actuel , 4 ^t Que limite supérieure.

Soit maintenant une équation quelconque

«• — 6ar^ — Sa:* + 58a:* — 144 = 0.

Partageons -la en groupes ordonnés suivant léb puis» sances décroissantes de x, et ne renfermant chacun qu'une Variation «

En substituant des nombres entiers consécutifs , on voit C]ue X = 7 rend positif le premier groupe ainsi que le Second ; pour toutes les valeurs de x supérieures à 7 les deux groupes ayant des valeurs positives, le polynôme a

222 CHAHTBE Vf.

auari une valeur positive ; doue 7 est une limite supériem des racines positives de l'équation.

On obtient de la même manière une limite supéfieiffe dn racines négatives. Si Ton change le signe de œ , Féqnatiim devient

oc* + 6ar* — 5x* — 58x* + 144 = o; on l'écrira

Le nombre 3, rendant positif le premier groupe, est une limite supérieure des racines positives de cette éqpiatioD. Ainsi toutes les racines réelles de l'équation proposée sont comprises entre — 3 et -|- 7 .

D'après cela, si l'on veut chercher lea racines entières de r équation

il suffira d'essayer les diviseurs de i44 qni sont compris entre — 3 et + 7. On trouve d'abord les raciiies — s et + 3 , ce qui réduit l'équation à

ar* — 5a:' — 4^ -|- a4 = o.

Les nombres -f 4 et -f 6 ne sont pas racines ; il est inutile de pousser les essais au delà ; il est certain que cette dernière équation n'a plus de racine entière.

Recherches des racines commensurables fractionnaires.