Nous supposons toujours que l'équation

(i) A^*» + Ajar"-* + + A"^*x + A. = o

a ses coefficients entiers. Une racine conuDenraraUe ipA-

nACINES COIIMËNSl'RABLRS. 221

qjûie pourra être mise sous la forme d*uiie fractiou irré- :tible r* ^ I*on aura

^0 jj; + A^ ^jj:^ + ...+A^i^ + A^ = o. *on multiplie par ft^^S cette relation devient

econd membre étant entier, le premier doit l'être aussi ; is 6 est le premier avec a et par suite avec a* ; donc 6 di- \ A^. Ainsi toute racine commensurable a pour dènomina" ' un diviseur du premier coefficient de V équation* !n. multipliant par 6"* et divisant par a, on a de même

^ = (Aoa-^ + A,4a-« + . . . + A^.,b^);

econd membre étant entier, le premier l'est aussi ; or a

premier avec 6* ; donc a divise A^. Ainsi h numérateur

m diviseur du dernier coefficient de f équation.

. résulte de Ikqu! une équation à coefficients entiers, dont

remier coefficient est f unité, n^a pas de racine commen-^

Me fractionnaire. En effet, le dénominateur d'une racine

rmensurable , devant diviser le premier coefficient qui

l'unité, est lui-même égal à im, et par conséquent la

ne est entière. Ainsi , dans ce cas , toutes les racines

imensurables sont entières.

eci nous donne un moyen facile de ramener la recherche

racines commensurables fractionnaires à celle des ra-

â entières.

n conçoit, en effet, que si Ton multiplie par un nombre en-

^'Ih CHAPITRE VI.

tier convenable les racines de F équation proposée, on lendri entières toutes les racines comménsurables fractionnaires.

Posons donc oé = kx^ d'où j? = -jr, et dans Téquation pro*

al posée remplaçons x par -^ , nous obtiendrons la nouveDe

(équation

Déterminons maintenant le nombre entier k de manière (pi' en chassant les dénominateurs pour rendre les coeffi* cients entiers , on réduise en même temps le premier coeiEcîent à Tunité. Cette opération réussira toujours quand on 1 prendra fc = A/, en effet, si l'on multiplie par *•"*, on met l'équation sous la forme

^a;'* + A,ar'"^* + A,fcc^~-» + + A«*--« = 0;

î^i fc = A^, cette équation devient, Taccent étant supprimé,

(-2) a:*» + K^x"^' + A,A,ar-* + + A^A^*^* ==0.

Cette dernière équation ayant ses coefficients entiers et son

premier coefficient égal à l'unité, toutes ses racines commen-

x' surables sont entières. Nous avons posé x 2= —, c'est-à-dire

que les racines de l'équation (1) sont égales à celles de lY^quatiôn (2) divisées par k; ainsi , quand on aura trouTé les racines entières de l'équation transfonnée (2), en les (VivLsant par fc, on obtiendra toutes les racines comroensurables de l'équation proposée.

On comprend pourquoi l'opération réussit toujours qiKwd on prend fc = A^; les racines commensurables ayant pour

RACINES COMMENSURADLES. 226

èuominateiir des diviseurs de A^ , il est clair qae ces rarines , multipliées par A^ , deviennent toutes entières* Lorsqu'il s'agit de trouver les racines conunensnraMes Tone équation , ou commence par chercher les racines eulières, et , s'il y en a, on divise l'équation par les facteurs bioOmes correspondants. On détermine ensuite les racines fractbnnaires à l'aide des racines entières de l'équation (2) ; mais 9 dans la recherche des racines entières de cette dernière équation , il est inutile de pousser les essais jusqu'au dernier terme ; car la plus grande racine de l'équation proposée étant au plus égale à A^ divisé par le plus petit diviseur de A^ , la plus grande racine entière de l'équation (2) 96ra au plus égale à k fois celle-ci ; on s'arrêtera à cette limite*

Exemples.

1* Trouver les racines commensurables de l'équation ax* + ** — loa;* — aoî-J* ia=:o.

)n trouve d'abord la racine entière — a ; divisant par op+s 9 ^équation se réduit à

^ — 3jr* — 4r + 6^=o.

i^tte équation n'ayant plus de racine entière , on la trans-

brme en remplaçant a; par ~ , ce qui donne

a:*— Sx* — 8ar-}-a4=o.

Les racines fractionnaires de la seconde équation ne pou-

vant être que db- et db - , on cherchera les racines entières

de la troisième équation seulement parmi les nombres ± 1

i1t6 CHAPITRE VI.

et ±: 5 ; on trouve que + 3 est racine ; ainsi Téquation ^

posée admet la racine fractionnaire -. La dernière équation

divisée par j? — 3 conduit à l'équation du second degré

qui a deux racines incommensurables ±«v/«, d'où résultent pour Téquation proposée les racines incommensurables db y/a • Ainsi les quatre racines de l'équation proposée 8(mt

2'' L'équation

n'a pas de racine entière. Si l'on remplace âs par r-, etsi Ton multiplie par A% elle devient

4x* 2Sx'

-7i T-* +45j:' — 6ftar— i8ft* = o;

pour opérer la transformation , il suffit de prendre Jfe= j, c€ qui donne

Les racines fractionnaires de l'équation proposée , dcvenui* entières quand on les multiplie par 2, ne peuvent être qi^^

±-, ±-, ±: -; on essayera donc ± i, ±3, ±9.

L'équation transformée admet la racine — 1 ; la division par X + 1 donne l'équation

X* — i5ar' + 6oar — 72 = o.

Cette dernière admet la racine 5 ; la division par « — '

RACINES COlflIBNSURABLES. 1S7

duit à l'équation du second degré

it les racines a; := 6 ±\fîi sont incommensurables, si les cpiatre racines de Téquation proposée sont

L61. Deuxième méthode. Il est à remarquer que lorsune équation

ses coefficients entiers et que l'on divise le premier imbre par le factem* binôme x — r « qui correspond à une

:ine commensurable fractionnaire -, le quotient a aussi

f coefficients entiers. Supposons que l'on effectue la divi- Q en ordonnant, par rapport aux puissances décroisites de X , comme nous l'avons expliqué au n** 134. l-e premier coefficient du quotient est A^, ; le second s'ob-

it en multipliant le premier par - et ajoutant A^ ; le

Lsième en multipliant le second par - et ajoutant A, , et

si de suite. Si les coefficients du quotient ne sont pas iers, ils ne pourront contenir à leurs dénominateurs que facteurs premiers de b.

âupposons maintenant que l'on divise le polynôme par

— x, en ordonnant par rapport aux puissances croissantes j?. On obtient le premier coefficient du quotient en divi-

CL h

it A,, par - , ce qui revient à multiplier par -. Si à ce

premier coefficient on ajoute A,,^ et si Ton multiplie par

-, on a le second coefficient du quotient, et ainsi de suite.

On en conclut que, si les coefficients du quotient ne sont pas entiers, ils ne pourront contenir à leurs dénominateon que les facteurs premiers de a. Mais nous avons déjà vu que ces mêmes dénominateurs ne peuvent contenir que les facteurs premiers de b ; conmie a et 6 sont premiers entre eux, tous ces dénominateurs se réduisent à Vunité , et pir conséquent les coefficients du quotient sont entiers.

Non-seulement les coefficients du quotient sont entiers, mais encore ils sont tous divisibles par b. Car, si l'on désigne par Aq , Bj , B, , les coefficients du quotient ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, on a

Pour que Bj soit entier, il faut que b divise A^ , ce que l'ofl sait déjà. Pour que B, soit entier, il faut que b divise B, , e' ainsi de suite.

Les deux manières d'effectuer la division peuvent être appliquées pour l'essai direct des racines commensurableâ fractionnaires. On choisira l'une ou l'autre , suivant les cas.

Exemples.

1" Reprenons l'équation

HACIlfU C0MIIRICSURABL£8« £S0

mi il a déjà été question. Après avoir reconnu que cetlQ [oation n'a pas de racine entière , cherchons les racines

acdoDDak'es» Essayons d'abord - ; si nous calculions le

lotient de droite à gauche, comme pour les racines entièreat

fimdndt diviser successivement par -, ce qui revient à

oltipUer par 9 ; toutes les opérations sondent possiUes, il faudrait aller jusqu'au bout pour voir si le reste estnuL 1 contndre, en calculant de gauche à droite, il faut mutr

^er successivement par - ce qui revient à diviser par 9 ;

fos emploierons donc de préférence ce second procédé :

multiplié par -donne s, et — 98..... — s6;—s6 multiplia

ir - donne — 13 et + 45 + 52 ; + Sa multiplié par -

mne4-i6ct — 6 + ^o; + io multiplié par- donne

- 5 et — 18 — i3. 11 arrive ici que l'opération se pro-

oge jusquà la fin ; mais le reste — 1 3 n'est pas nul ; donc - 'est pas racine.

Essayant - '- de la même manière, toutes les opérations

Qt possibles , et Y on arrive à un reste nul ; donc est

tine, et l'on a le quotient

4x* — 3oa:*4-8o^ — 36 = o, U en divisant tous les termes par s,

2X* — i5x*4-3ar — 18 = 0.

Après avoir essayé encore une fois ,011 essjayera -,

tM CHAPITRE VI.

mais en allant de droite à gauche : — 18, divisé par-,

donne — 12 ; ajoutant + ûo on a -f 18 qui, divisé par-,

donne + 12; ajoutant — 1 5 on a — 3 qui , divisé par -,

donne — 2 ; ajoutant le premier coefficient -|- 2 , on obtient

un résultat égal à zéro. Donc - est racine , et le quotient

de la division par x est

OU X*— Ox+ 6 = 0.

Cette équation du second degré donne deux racines incommensurables.

2" Trouver les racines commensurables de réquation

i5x* -f. iGx' — 4ar* — 5x 4- 6 = o.

Après avoir reconnu que cette équation n'a pas de racine entière , on essayera la fraction ^ en allant de gaocte à droite, et Ton verra que cette fraction est racine. Dans l'équation simplifiée, on essayera les fractions de r»^?»

et l'on verra que — ^ est racine. L'équation à laqueOe on

arrive, ayant son premier coefficient égal à l'unité, n'a pto de racine commensurable. Voici le tableau des calculs :

THÉORJB DBS ÂgUATIONS.

i5«* + i&p» — 46ap« — 5x + 6s=5o

+ ai +4-3 — i + a

i5, +ai , — 39, — i8, o

— iSoî —

^^niiiUm de fialitè des racines de Fiquation du traUiiwu

degré.

162. Lemme. Deux racineê réelles consécutives de téqua-- »n f (x) = o comprennent au moins une racine réelle de 9uat\on r(x) = o.

%n eff^, sment a et 6 deux racines consécutives de Télalioû /'(x) = 0 ; imaginons que Ton fasse varier ^ de a ^ ; pour â? = a, la fonction f{x) est nulle, elle s'annule de ^veau pour a? = 6 ; dans l'intervalle , elle conserve des leurs finies et de même signe. La valeur absolue de la Mtfm commence donc par croître pour décroître ensuite ;

2S2 CIUPITRIS Yi.

elle passe nécessairement par un maximum , et , par conséquent , la dérivée f{x) s'annule dans Tintervalle de a et i, Elle peut s'annuler plusieurs fois, parce que, dans Viotervalle de a à 6, f{x) peut éprouver plusieurs alternatives d'augmentation et de diminution.

La réciproque n'est pas vraie : deux racines consécutives de l'équation f{x)=o ne comprennent pas toujours une ratine de l'équation f{x) = o.

16S. Théobème. Lorsque l équation f{x) = o a toutes m racines réelles , V équation f{x) = oa aussi toutes ses radna réelles, et deux racines consécutives de la seconde iquaiion m comprennent une et une seule de la première.

Soit m le degré de l'équation f{x) = o, dont nous supposons les m racines réelles et rangées par ordre de grandeur croissante

En vertu du lemme précédent , chacun des intervalles comprend une racine de la dérivée; il y a m — i intervalles; donc l'équation ^(ar) = o a ses m — i racines réelles. Iles! évident qu'il n'y a qu'une racine dans chacun des intervalles , sans quoi cette équation aurait plus de m •— i racmes. Appelons

les m — 1 racines réelles de l'équation f(x) = o, rangées aussi par ordre de grandeur croissante; la première a' sera comprise entre a et 6, la seconde 6' entre 6 et c, etc. Réciproquement, deux racines consécutives de la seconde éqtttr tion en comprennent une de la première et une seule ; s et ^ comprennent la racine b. Il et(/ la racine c, etc.; ily* donc m — 2 racines réelles de l'équation f{x) = 0 dans te

TIlÉUajE DES ÉQUATIONS. 2S$

m — 9 intervalles , et de plus il y en a une a inférieure à a\ et une autre fc supérieure à U.

164. Considérons, en particulier, Téquation du troisième degré.

L*équation du second degré

doit avoir ses deux racines réelles, ce qui donne une première condition AJ — 5A, > o. Appelons a' et b' ces deux racines, a, 6, c étant les trois racines de Téquation proposée. Supposons que y varie de — c» à + co ; pour x = — oo. Je polynôme ({x) a le signe — , qu'il conserve jusqu'à ce que X arrive à la plus petite racine a ; quand x dépasse a , le polynôme change de signe , et prend le signe + qu'il conserve jusqu'à la seconde racine 6 ; là il change de signe une seconde fois et prend le signe — qu'il conserve jusqu'à la plus grande racme c ; il change alors de signe une troisième fois, et prend le signe 4- qu'il garde indéfiniment Ainsi, /(«) a le signe — de — c» à a, le signe + de a à &, le signe — de fr à c, et le signe + de c à + oo.

Mais on a vu que la première racine a' de l'équation f(x) =3 o est comprise entré a et 6 ; si donc on remplace œ par a! dans le polynôme f{x) , on doit trouver un résultat positif. La seconde racine b\ étant comprise entre 6 et c, donnera un résultat négatif.

. Ces conditions sont suffisantes ; car si Ton a [{a!) > o Ql/(6)'< o, le polynôme f{x) change de signe, une pre^ nière fois quand x crott de — c^k a\ une seconde fois de o' à y et une troisième fois de fr' à + o^ ; donc l'équation f{x) = o a ses trois racines réelles.

n suffit pour cela de remplacer a; par a? — îi" » ^

disparaître le terme du second degré ; on augmen

toutes les racines de la même quantité ~-*

L'équation

Sx* +P = o

devant avoir ses deux racines réelles , il faut que le cient p soit négatif^ supposons cette condition n nous aurons

On doit avoir en outre f{a') > o , c'est-à-dire

La condition f{b') < o se déduira de la précédente en géant le signe du radical et le sens de l'inégalité ,

THiOKIE DES ÉQUATIONS. SS'S

'. coefficient p étant négatif, les premiers membres de ces

^alités sont des quantités positives. Supposons q>o; négalité (1), ayant son second membre négatif; sera toubrs satisfaite ; l'inégalité (2) ayant ses deux membres podfs, on peut les élever au carré, et Ton en déduit

upposons maintenant 9 < o ; c'est l'inégalité (2) qui est nijours vérifiée , et l'inégalité (1) conduit à la même inégalité (3). D'ailleurs, l'inégalité (3) ne peut être satisfaite œ si le coefficient p est négatif.

Ainsi, la çondilion nécessaire et suffisante pour que Vémtion

t ses trois racines réelles , est que ses coefficients satisfassent l'inégalité

Quand le premier membre de cette inégalité est une tantité positive, l'équation n'a qu'une racine réelle. Uind cette quantité est nulle, l'équation a deux racines :^es , comme nous Tavons vu au n* 155.

Hm CUAPITKË \U

Exemples.

l* L* équation

or* + 5^ — a = o,

dws laquelle le coeflicient du second terme est positif, i\ qu'une racine réelle ; cette racine est positive, 2* L'équation

a ses trois racines réelles. La transformée en — x n'ayant qu'une variation , une seule racine est négative , les deux autres sont positives.

S*" L'équation

n'a qu'une racine réelle. Cette racine est négative.

ExtTcicts.

1* Appliquer la méthode des racines égales aux équa^ tions

a?' — 707^ — ikx^-^-w^x^ — aSgi-^— 83x'+6i 2x' — io8x— 4^a-o,

a;*+2x'4-^'+6jt:'+7^* — ax*-|-3jr'*+ajtr' — iix — 8=o, X* — 8j?*+a4x'— 3ax+i6=o.

2" Chercher les racines conunensurables des équations

x^ + 5^* + ^' — ifior' — aoj: — i6 = o, ax* — 53a: + io5 = o,

6jc* — iQx' + iSx* — aox* + 48^ — i6 = 0, i5x* + i6x' — 4Ga?« — 5x + 6 = o.

DBS DIFFÉRENCES.

DIFFÉRENCES DES DITERS ORDEES.