Supposons d'abord que Ton donne le nombre u^ et
ses m diiTérenees successives Au^, à*u^ , , ^"w^; il s'agit
de trouver les nombres u^^u^, ti«.. Nons savons que la
question est possible , et nous avons indiqué dans le numéro précédent la manière d'effectuer le calcul de proche en proche ; mais nous cherchons ici une formule algébrique donnant l'expression d'un terme quelconque ti» de la suite en fonction des quantités données.
Puisque Au^ = u^ — u^ par définition , on a d'abord
On a aussi ii, î= ti^ + Au,. Mais à\ = ^u^ — au, par définition, d'où Au, = Au^ -f A^u^ ; si dans Texpression de ii, on remplace u, et Au, par leurs valeurs, il vient
OU plus simplement On a de même
«• = w, + Am,.
Nous connaissons u,; on en déduit facilement Au,. Imaginons en effet que, dans le tableau des différences (n*" 167) , on supprime la première colonnne verticale , les différences premières constitueront les nombres proposés , les différences secondes deviendront les différences premières,
2â2 CHAPITRI Vif.
et ainsi de suite. C'est comme si Ton augmentait d*une unité l'indice de la lettre a dans chaque terme. Or il est clair que le tableau ainsi modifié jouit des mêmes propriétés qoe k tableau primitif ; nous avons trouvé la relation
nous aurons maintenant
Si dans l'expression u, = u^ + Au, on remplace u, et ^ par leurs valeurs , il vient
«• = «0 + 2AW0 + ^\ =^0 + SA^'o + 5AX + à\.
Le même raisonnement peut être répété indéfiniment On a
Nous connaissons u^ ; on en déduit facilement Aw,. Si l'on imagine comme précédemment la première colonne verticale supprimée , ce qui revient à augmenter d'une unité l'indice de la lettre a dans chaque terme , la relation
«8 = «0 + 3AMo + ^^\ + A'tt.
deviendra
^«^8 = Aw, + 3A«w, + 5AX + A*«,.
En remplaçant u^ et Au, par leurs valeurs, on a
+ Aw,+3A«w,+3AX+A*e/,.
On reconnaît les cœfiicients du développement de b puissance d'un binôme ; l'expression de Ut a pour coeft-
ients ceux du carré d'un binôme ; Texpreasion de ii, ceux n cube ; l'expression de u^ ceux de la quatrième puisaoce. Nous allons faire voir que cette loi est générale. Pour ela y nous démontrerons que si elle est vraie pour Un i elle BSt aussi pour u^^i, c'est-à-dire que si l'expression de u« pour coefficients ceux de la n^ puissance du binôme , expression de u^^, aura pour expression ceux de la n + i* nissance. Soit donc
«• = «• + C*/Wo + Cr'^^\ + CVwo + ^%-
Si l'on imagine la première colonne verticale supprimée , e qui revient , comme nous l'avons dit, à augmenter d'une ;aité l'indice de la lettre ^ dans chaque terme , cette relaion devient
î^iisque u^^^ = u» + ^Un , en ajoutant les deux égalités )récédentes , on a
A*tt,
