Supposons maintenant que Ton donne les m + * nombres

^oy ^i> ''î> "«>

et que Ton veuille trouver les m différences successives du premier de ces nombres, savoir :

On a d'abord

DIFPÉHEKCES. 2A6

Ou a aussi pai* définition

us dUj = 11, — Uj , si dans Texpression de a*u^ on remloe au^ et AUj par leui-s valeurs , il vient

aX = (w, — "i) — (^^ — «o) = «t — aw, + M.,

On a de même

aX=aX — ^X

ws coonaissons A'ti^ ; il est facile d'en déduire a'u,. Ima- Qons que dans le tableau des différences on supprime première ligne horizontale , la seconde ligne deviendra {Hremière , la troisième la seconde ; c'est comme si Ton sttait tij à la place de u^, u, à la place de u^, etc. ; en un )t, c'est comme û l'on augmentait d'une unité l'indice de lettre u dans chaque terme. Il est clair que le tableau ainsi )£fié jouit des mêmes propriétés que le tableau primitif. lUs avons trouvé la relation

A«w^ = Wj — 2Wj + ti, ; os aurons maintenant

dans l'expression a'u^ = a'u^ — a'u^ on remplace à>\ aHIj par leurs valeurs , il vient

— tt. + awj — tto

Le même raisonnement peut être répété indéfiniment.

la

(US connaissons A'u^. Si l'on imagine encore la première

a'm,=b, — 3w, + 5«, — w, ^Kj — 4u, -|-6u, —

On reconnaît encore les coeiTicients du déveki de la puissance du binAme. . L'e]q>res8ion de &*« coefTiûents ceux de (a — 6)', l'expression de A*u^ (a — 6)', l'expresMon de a*u„ ceux de (a — 6)'- Je montrer que la loi est générale : admettons-la pou soit

A"K,=w»— C|^a^, q=C^\-f^,±ffu^^

Si l'on imagine la première ligne horizontale su] ce qui revient, comme nous l'avons dit, à ai d'une unité tous les indices de la lettre u, cette devient

A-w, = w-.|— C]," ±.(ft'^^^t ±«1

Mais ii"*'u„ = A"ti, — i'Uj ; on obtient donc , en rel l'une de l'autre, les denx expressions précédentes,

i«\ = w^ — cM«, 4- C* «., ±(f u,^, „,

DIPPÉRBMOKS. 247

On voit par là que si la loi est vraie pour a'^Uo * ®U^ ^'^^ aussi pour hv^u^. Gomme elle a été démontrée pour

conséquent pour une différence d'ordre quelconque. On a donc la formule générale

P) A*tlo = «*H — 7 «'n-t + ^ W»- ^ "f

Au moyen de cette formule on obtiendra chacune des m différences successives de u^ , en donnant à n l'une quelconque des valeurs i, a, m. On peut écrire cette formule sous la forme symbolique a"u, = (u — i)*, en remplaçant dans le développement les exposants par des indices et le dernier terme i ou u° par u^.

On donne, par exemple, les six nombres i, lo, s5, 44» 70 et 98. Si l'on fait n = 4 dans la formule (P) , on aura directement la différence

A*tt<, = 70 — 4.44 + 6.a5 — 4.10+1=5, obtenue précédemment par une valeur de proche en proche.

Différences d'une fonction.

171. Soit u = f{x) une fonction quelconque de la variable X ; si l'on donne à la variable m + 1 valeurs

la fonction prendra une suite de valeurs correspondantes

Wof Wj, w,, u^,

dont nous pourrons prendre les différences des divers ordres, comme nous l'avons expliqué précédemment Ordinairement les valeurs données à la variable forment une

2i8 CUAPITHE VII.

progression arithmétique dont on appelle h la raison. Supposons que X représente l'un quelconque des termes de la progression yX^h étant le terme suivant ; les valeurs cor^ respondantes f{x) et f{x + k) de la fonction auront pour différence première f{x + ft) — f{x) ; c'est une nouvelle fonction de x que l'on nomme différence première de la fonction proposée et que l'on désigne par V(^)i ^^ ^lans cette fonction ^f{x) on remplace successivement x par chacuD des termes de la progression, on obtiendra les m différences premières que fournissent les jn + i valeurs correspondantes de la fonction.

De même , si l'on donne à x deux valeurs consécutives x et X + hj les valeurs correspondantes de la fonction a^(j) auront une différence ^f{x + ft) — ^f{x) ; c'est une noih> velle fonction de x que Ton nomme différence seconde de la fonction proposée et que l'on désigne par a'/(^). Et ainsi de suite.

Prenons comme exemple la fonction

nous aurons

au = a*^** — tt* = fl'(a'* — i).

Ainsi on forme la différence première de la fonction a' en multipliant cette fonction par la quantité constante a' — i* On aura de même

A«tt = ar(a^ — i )% ^*u = ax{a^ — i)*,

Considérons encore la fonction

u^^xlx + h) (>-f u/*) [x + (n — \)h].

DIPPKRE.NCËS. 2/19

Nous aurons

Aw = (x -f- A) (x + a/«) (x 4- nh)

= nh(x + A) (x + aA) [^ + (n — i)A],

La fonction proposée est du degré n; pour former la dUTérence Au , on a multiplié par le nombre des facteurs et par la raison h et Ton a supprimé le premier facteur.

En appliquant la même règle , on écrira de suite

A»ti = n(n— i)A*(x+aA)U'+5A) [x + (n — i)A],

A"M = n(n — i) (n — a) 3.a. lA*».

dB trouve de la même manière

. A . / . A> agosx = — a sm-sm

Asmx = asm - coslx + -)

et par suite

A* sîn X = — a* sîn* - sin {x + A),

A*cosx = — a* sin*- cos(x-|-A);

A'sinj; = — a*sin'-co8 (x + 3 -),

A* cosx = a' sîn* - sin ( x + 3 - ) ; •

A* sinx = a* sin* - sin (x + aA),

A*cosx = a* sin*- cosfxH- î»A).

lA DIFFÉRENCE m d'uNE FONCTION ENTIÈRE DU DEGRÉ m EST CONSTANTE, SI LA DIFFÉRENCE DE LA TARIARLE EST ELLE-MÊME CONSTANTE.

172. Considérons en particulier la fonction entière du degré m. On a, en développant d'après la loi connue,

A«=/^z+A)-/ix)=Ax)A+nx)^ +

La quantité A, raison de la progression arithmétiqae, est une constante ; on voit par là que la différence première d'une fonction entière du degré m par rapport à la variable» est une fonction entière du degré m — i . De même la différence de la fonction Au, ou la différence seconde de la fonction proposée , sera du degré m — 2 ; a'w sera du d^ m — 3; en général àTu sera du degré m — n. Enfin la différence d'ordre m sera du degré zéro; ce sera donc une constante , et par conséquent les différences d'un ordre plus élevé seront nulles.