Remarque. Soit

la fonction entière proposée, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x. Cette fonction étant la somme des termes qui la composent, sa différence d'un ordre quelconque est égale à la somme des différences du même ordre de ses différents termes. 11 en résulte que la différence première ne dépendra pas du terme constant A«. , puisque la différence de ce terme est nulle ; la différence seconde ne dépendra pas des deux derniers termes A«-j a? -f A^ , puisque la différence seconde de cette partie est nulle ; en général ,

la différence d'ordre n ne dépendra que des termes dont le degré est égal ou supérieur à n ; enfin la différence d'ordre m ne dépend que du premier terme A^^x*. Nous nous proposons de calculer cette différence d'ordre m. Nous avons

^u = hf{x) -f ;

le premier terme s'obtient en prenant la dérivée du poly- ^nôme proposé et multipliant par h ; les autres termes étant d'un degré inférieur à m — i ne donneront rien dans à'^i. Nous aurons, en appliquant la même règle,

A*w = AY*(ar) +

Le premier terme du polynôme f{x) entrant seul dans la m* dérivée , on aura finalement

A*tt= i.a.3 mkji^.

Exemples.

!• Former les carrés des nombres entiers. Considérons la fonction u = x', et supposons que l'on donne à x les

valeurs o, i, s, 3, , en progression arithmétique. La

fonction étant du second degré , la différence seconde a*u est constante et égale à i.2.h% c'est-à-dire à 2 ^ puisque la raison ft est l'unité; les différences d'un ordre plus élevé sont nulles. Pour commencer le tableau, il suffit d'écrire les deux premiers carrés o et 1 avec leur différence première 1 et la différence seconde 2 trouvée directement.

CUAPITRB Vif.

On répétera la différence seconde constante 2 dans la troisième colonne autant que Ton voudra, et Ton dira, ea calculant par lignes obliques, d'après la règle établie au n** 167 : s et i...3 et i...4; s et 3... 5 et 4**-9; > et S...; et 9. .. 1 6 ; en continuant de cette manière on formera les carrés des nombres entiers consécutifs.

2*' Former les cubes des nombres entiers. Considérons la fonction u=x^ et donnons encore à a; les valeurs successives o, 1, s, 3... en progression arithmétique. La fonction étant du troisième degré , la différence troisième sera constante et égale à i.)i.3h' ou 6. Pour commencer le tableau noas écrirons les trois premiers cubes o, 1,8, d'où nous déduirons les différences premières 1 et 7, et la différence seconde 6 ; mettant ensuite à la droite la différence troisième constante 6 trouvée directement , on pourra effectuer le calcul des lignes obliques et obtenir les cubes des nombres entiers consécutifs.

ia5

DiPFÉn;.Nccs. 3Ô3

* Trouver la somme des carrés des n premiers nombres, ûdérons la suite des quantités

o\ t/j=o»+i% ti,=o*+i*+a% ii,=o»-|-i»+a«+5%

lifférences premières sont les carrés consécutifs i% s% .... ; il résulte de ce qui a été dit précédenunent que lifférences secondes des différences premières , ou les rences troisièmes des nombres proposés, sont contes et égales à 2 ; et par suite que les différences d'un 6 plus élevé sont nulles. Écrivons le commencement du 3au avec les trois premiers nombres u,^ , w, , u, ;

Aa,= i