MULTIPLICATION

deux polynômes b--*c eid^$, l'expression se réduit à

Noos avons dit que Ton peut mettre cette expression sous la forme

remfilaçonâ les deux polynômes 6 — c et e — d par leurs valeurs + f et — g; nous aurons à multiplier + /"par — gf, ce qui donne — fg^^i nous retrouvons ainsi le même résultat û — fy.

Gonsidércms encore l'expression

. ^ a + {»-c){d-e), qui se réduit à

Û + /37- Nous pouvons la mettre sous la forme

remplaçons les deux polynômes c — 6 et c — d par leurs valeurs — / et — g , nous aurons à multiplier — / par — j , ce qûî donné + /& » et nous retrouvons ainsi le même résultat a -f fg.

il résiilte de cette manière d'envisager la multiplication àigèbrîqûe que le produit de deux polynômes est égal à la sotlime algébrique des produits du multiplicande par chacun des ternies du multiplicateur.

58. Remarqub il Le produit d'une quantité négative par une quantité négative étant positif, le carré d'une quantité négative sera positif; mais le cube , qui est égal au produit du carré par la quantité elle-même, sera négatif; en général les puissances paires d'une quantité négative sont positives, mais les puissances impaires sont négatives.

Cette remarque est importante. Si l'on veut changer le signe d'une lettre dans un polynôme, on changera les signes

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de toutes les puissances impaires de cette lettre, sans changer ceux des puissances pedres.

Par exemple , en multipliant le binôme a + b par luimême, on trouve

(a + 6)« = a« + aa6 + 6*.

Changeons le signe de 6, le terme sa& changera de signe , mais le terme 6' ne changera pas ; nous aurons donc

(a — 6«) = o« — aa* + 6«.

Ces deux égalités donnent naissance à ces deux théorèmes de géométrie élémentaire : le carré construit sur la somme ou sur la différence de deux lignes égale la somme des carrés construits sur chacune de ces deux lignes, plus ou moins deux fois le rectangle ayant Time pour base , Fautre pour hauteur.

La multiplication de a 4- ^ P^ ^ — b donne

En changeant le signe de b on permute simplement les deux facteurs du produit, et l'on voit qu'en effet le second membre ne change pas. L'égalité précédente s'énonce ainsi : le produit de la somme de deux quantités par leur différence égale la différence des carrés de ces deux quantités. C'est une proposition fréquemment employée en algèbre ; elle se traduit en géométrie par ce théorème : le rectangle construit sur la somme et la différence de deux lignes égale la différence des carrés construits sur ces deux lignes. Si l'on multiplie le carré de a + 6 par a + 6 , on trouve

(a + 6)» = a» + 3a*é + 3aA« + 6»; on en déduit, en changeant le signe de 6,

(a — bf = a» — 3a*é + 3a*» — b\

60. La division est Topération inverse de la multiplication. Elle a pour but , étant données deux expressions algébriques, nommées, l'une dividende, l'autre diviseur, d'en trouver une troisième nommée quotient, qui, multipliée par le diviseur, reproduise le dividende.

M. Quotiem de deux puissances d^un même nombre. Soit à diviser oT par a*, le quotient sera a**"* ; car si l'on multiplie ce quotient par le diviseur a*, ce qui se fait en ajoutant les exposants , on reproduit le dividende oT. On a donc

Règle. Pour diviser deux puissances d'un mime nombre TwM par Vautre^ de V exposant du dividende on retranche edm du diviseur.

Exemple :

61. Exposant zéro. Le quotient est entier lorsque l'exposant du dividende est plus grand que celui du diviseur. Alors on peut effectivement retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende.

Lorsque l'exposant du diviseur est égal à celui du dividende , l'application de la règle précédente conduit au sym-