LIVRE I. — CHAP. IV

bole a®; car on a^ dans ce cas,

Le symbole a®, représentant le quotient de deux quantités égales , a une valeur égale à l'unité , quelle que soit la valeur de a. L'emploi de ce symbole est très-utile en algèbre ; nous on avons déjà fait usage plusieurs fois implicitement; ainsi nous avons dit (n** 32) que lorsqu'une lettre n'entre pas dans un monôme , on peut la considérer comme y entrant avec l'exposant zéro, et nous avons supposé le polynôme

écrit sous U forme

Les facteurs introduits 6® et a®, étant égaux à l'unité , ne changent pas la valeur du premier ni du dernier terme.

L'emploi de l'exposant zéro simplifie les énoncés : on peut énoncer la règle de la multiplication des monômes en disant simplement que l'on multiplie les coefficients et que l'on ajoute les exposants des mêmes lettres. Il n'y a qu'à supposer, en^ifet, que les lettres qui diffèrent entrent dans l'autre monôme avec l'exposant zéro.

Lorsque l'exposant du diviseur est plus grand que celui du dividende, le quotient est fractionnaire; on le simplifie en divisant les deux termes par le numérateur. Ainsi

Dans ce cas, l'application de la règle conduit au sj^bole a"*, qui représente -^ ; c'est là l'origine des expasants négatifs dont il sera question plus tard.

0tfl8TON« M

DMiion de$ mofiùmes.

61 La règle fimnnlée pour la multiplication des mdiiteies (n* A8) conduit immédiatement à là règle aidyante ; Règle. P&ur âittur un tnanùmê pot* un monôme, on di- 0te U côelHeient dit dMdmïdB pat aiui du dMsewr, el t'ofi rririmcktf le$ ewpo$anu du dfoiiaof des UDpoMhd det mMun /e/lres danj le dividende.

Soit à diviser laa'ft'c'^de* par 4^*6 Vd. Le quotient demandé sera 5a'6c V ; car m Ton multiplie ce quotient par le diviâenr, on reproduira évidemment le dividende. Ainsi

En appliquant la règle, on regardera la lettre e comme affectée de Texposant o dans le diviseur.

63« Remabque. Pour que le quotient soit entier, U faut que le coefiicient du dividende soit divisible par le coefficient du diiriseur, et que les exposants du diviseur ne siupassent pas les exposants des mômes lettres dans le dividende. .

La seconde condition est surtout essentielle; car si elle est remplie sans que la première le soit , le quotient aura, il est vrai, un coefficient fractionnaire, mais il sera encore eniimr (ûgibriquement. On aura, par exemple ,

— -— = - a^b^c^de.

iaa*AVd 3

On dit qu'une expression est entière algibrUpêemmi , lorsqu'elle est entière sauf des oofficients fractionnaires.

Si la seconde condition n'est pas remplie, le quotient <en fractionnaire ; mais alors on le simplifiera autant que possble. Par exemple

iMlAc^d^ 5a»d»

3oii'ft»e* ^ 5ftr» '

00 LIVRE I. . — GHAP. IV.

6A. Division (Ttin polynôme par un monôme. On sait que l'on multiplie un polynôme par un monôme, en multipliant chaque terme du polynôme par le monôme (n"* A9) ; on effectuera donc la division d'un polynôme entier par nn monôme entier, en divisant chaque terme du dividende par le diviseur. Le quotient sera entier si chaque terme du dividende est divisible séparément par le diviseur; ^on, il sera fractionnaire.

Division dés polynômee.

06. Supposons les deux polynômes ordonnés par rs^port aux puissances décroissantes d'une même lettre. La question est de trouver un polynôme entier qui, multiplié par le polynôme diviseur, reproduise le dividende. Imaginons ce polynôme trouvé et ordonné aussi par rapport aux puissances décroissantes de la même lettre. Nous savons que , dans la multiplication de deux polynômes ordonnés (n° 52) , le prenûer terme du produit provient sans réduction de la multiplication du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur. Ainsi , le premier terme du dividende est exactement le produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient ; si donc on divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, on obtiendra le premier terme du quotient.

Le dividende est égal à la somme des produits partiels obtenus en multipliant le diviseur par chacun des termes du quotient ; multiplions le diviseur par le premier terme du quotient, et retranchons ce produit du dividende, nous aurons un reste qui sera égal au produit du diviseur par les autres termes du quotient. Ce reste constitue donc un nouveau dividende, sur lequel nous pouvons raisonner comme sur le dividende proposé. Le premier terme de ce nouveau

dividrade est le produit du premier terme du diviseur par te premier terme du quotient correspondant ; en divisant le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, on aura donc le second terme du quotient, etc.

Rien n*est changé dans le raisonnement quand on suppose les polynômes ordonnés par rapport aux puissances croissantes d'une même lettre.

On déduit de là la règle suivante :

Règle. Pour diviser deux polynômes entiers Vun par f autre ^ on ordonne ces deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes ou par rapport aux puissances croissanies S une mime lettre; on dixAse le premier terme du dtvidende par le premier terme du diviseur^ ce qui donne le premier terme du quotient; on multipUe le diviseur par ce premier terme du quotient et on retranche le produit du dividende; on divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseur^ ce qui donne le deuxième terme du quotient ; on multiplie le diviseur par ce deuxième terme du quotient , et on retranche le produit du premier reste : on divise le premi^ terme de ce detuxième reste par le premier terme du diviseur^ et Von continue de cette manière jusqu'à ce que Ton arrive au dernier terme du quotient.

On obtient directement le dernier terme du quotient en divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Car, dans la multiplication de deux polynômes ordonnés , le dernier terme du produit provient aussi sans réduction de la multiplication du dernier terme du multi- {dîcande par le dernier terme du multiplicateur. Arrivé au dernier terme, on doit trouver ensuite un reste nul, si la division se fait exactement.

n est clair que la loi des signes est la même que dans la multiplication ^ si les deux tenues que Ton divise l'un par Vautre ont le même signe , le terme du (^uotieut devra être