Considérons d'abord un polynôme du troisîèiDe degré

Nous nous proposons de calculer les valeurs que prend ce polynôme pour les valeurs entières

positives ou négatives , données à la variable x. En substituant directement les trois nombres simples — i, o, -|- ii on obtient les trois résultats 24^ 5 et — 8. Avec ces trois valeurs, on forme deux différences premières — 19 et— 15, et une différence seconde 6. La fonction étant entière et da troisième degré , on Stait que la différence troisième est constante et égale à 1.2.3.A0A', c'est-à-dire à 6 dans l'exemple actuel; les différences d'ordre supérieur sont nulles. On peut donc prolonger le tableau indéfiniment par lignes obliques d'après la règle du n? 167, et obtenir les

DlFFKRtNCES.

valeurs du polynôme pour j? = 2 , x = 5i etc. Voici la disposition du tableau :

La prendëre colonne verticale contient les valeurs de la variable x^ la seconde les valeurs correspondantes de la fonction, et les suivantes les différences, comme à l'ordinaire. La dernière colonne contient la différence troisième constante 6 que Ton répète iiidéfiniment* On calcule en

cUsant: 6 et 6 13 et — i3 — 1 et — 8 — 9,

valeur de la fonction pour a; = a. Recommençant alors une

nouvelle ligne oblique, on dit: 6 et 12 18 et — 1 17

et — g 8, valeur du polynôme pour aï = 3, etc.

On peut aussi prolonger le tableau vers le haut et trouver les valeurs de la fonction pour x = — 2, J5= — 3 , etc. On remarque, en effet, que tout nombre du tableau est égal au nombre placé au-dessous de lui , moins celui qui est à droite du premier ; car, de la relation générale

on déduit

AX = A'w^ — A*»^»!!,;

le nombre a^m, égale le nombre a^w^^^ placé au-dessous de lui , moins le nombre a'^^/„ qui est à sa droite.

258 CHAPITRE YII.

On procédera donc de la manière suivante :

— ya

La ligne horizontale inférieure contient Is Iràtonr dé la fonction et ses différences successives pour d? zs — i î valeurs trouvées précédemment, et l'on a répété la diffiratt troisième constante 6. Si de la difi%rencé seconde % on retranche la différence troisième 6 ^ on a la différence seconde 0 qui correspond à a; = — a ; si de la différence prtmière — 1 9 on retranche la différence seconde o » on â la différence première — 19 qui correspond à « = — s ; enfin, si du nombre 24 on retranché bette différence première — 19, on obtient la valeur 43 du polynôme pour j? = — «. On a f<5rmé de la sorte la seconde ligne horizontale au moyen de la première. De la seconde on déduira de même la tn»sième ; on dira ; o moins 6 donne — 6 ; — 19 mcnns^

— 6 — 13; 43 moins — i5 56; telle est la valeur di»^

polynôme pour o? = — 3. Continuons encore : — 6 moin^

6 — 12^ — 13 moins — 12.,... — 1; 56 moins — i....^

57, valeur du polynôme pour a; = — 4 » et ainsi de suite^— - Le calcul se fait ici par lignes horizontales successive*— Ordinairement ces deux tableaux sont réunis quand la plao^ le permet, et constituent un seul et môme tableau que r<>o

peut prolonger à volonté vers le bas ^àr àdflitî'ofaé stlKcfessives , vers le haut par soustractions.