Soit maintenant un polynôme du quatrième degré

On substituera directement à la place de x les quatre nombres — 1, 04 1, 2, ce qui donne les quatre valeurs correspondantes — 13, 3, 7 — 19, avec lesquelles on forme trois différences premières 16, 4> — 26, deux différences secondes — 12, — 3o, et une différence troisième — 18 ; on connaît d'ailleurs la différence quatrième qui est constante et égale à i.2.3.4*AoA^ ou 24) puisque la fonction est du quatrième degré ; les différences suivantes sont nulles. On a ainsi tout ce qu'il faut pour pouvoir effectuer le calcul et le prolonger dans un sens ou dans l'autre.

— la

îî

ii3

177. Considérons , en général , une fonction entière u = f{x) du. degré m; supposons que l'on donne à la va-

riable m valeurs en progression arithmétique

et que Ton connaisse les m valeurs correspondantes

de la fonction. Avec ces m valeurs, on formera m — i différences premières, m — 2 différences secondes, , et

enfin une différence de Tordre m — 1 • La fonction étant entiëre et du degré m , on sait que sa différence d'ordre m est

constante et égale à t. 2 mA^ft"», et que les différences

suivantes sont nulles. On a ainsi tout ce qu'il faut pour calculer le tableau des différences ; si l'on effectue le calcol par lignes obliques en descendant , on obtiendra les valeurs de la fonction qui correspondent aux termes suivants a?Q + mh, j?Q + (w + 1 )/i,. . . , de la progression arithmétique; si, au contraire, on remonte par lignes horizontales, où trouvera les valeurs qui correspondent aux termes précédents Xq — fc, x^ — 2ft, En résumé, le calcul de «iva-

leurs par substitution directe suffit pour que l'on puisse trouver toutes les autres.

Il est à remarquer que la substitution directe d'un nonîbre a à la place de x s'effectue assez simplement d'après le procédé du n'* 134. On opérera sans rien écrire comme a l'on voulait diviser le polynôme par rc — a : le reste est le résultat cherché.

FORMULES d'interpolation.

Définition.

178. Supposons que Ton ait trouvé par un moyen quelconque les m + 1 valeurs

llfTEaPOLATIOM.

ne prend une fonction lorsqu'on donne à la variable m 4; i ileurs

tierpoUTy c'est trouver les valeurs de la fonction pour les ftleurs intermédiaires de la variable.

Par exemple 9 on a caculé les logarithmes des nombres dtiers de loooo à looooo. Interpoler, c'est trouver le lo* aiithme d'un nombre fractionnaire compris dans l'un des itervalles.

Autre exemple : par des expériences directes , on a meure la tension de la vapeur d'eau pour des températures e lo en 10 degrés, depuis loo jusqu'à soo degrés. Interoler, c'est trouver la tension de la vapeur pour une température intermédiaire.

Le problème de l'interpolation n'est pas déterminé, ftarce qu'on ne connaît pas en général la nature de la foncion , mais seulement certaines valeurs particulières, et qu'il ist impossible d'en déduire rigoureusement les autres vaeurs ; on conçoit, en effet, qu'il existe une infmité de foncions qui prennent des valeurs données pour m + i valeurs le la variable, sans qu'elles se confondent pour cela dans les Btervalles. Afin de bien mettre ceci en évidence, ima^- Dons que l'on représente les valeurs données de la fonc-

262 GH4PITRE vu.

tion par des ordonnées comme au n"* 17A, et supposons que Ton trace une courbe passant par les m + i points M,, M^ 9 H, «....9 ainsi obtenus; l'ordonnée de cette courbe repr^ntera une certaine fonction u = f{x) admettant les m + 1 valeurs données ; si maintenant Ton donne à x une vdeur intermédi^e QP quiconque et que l'on mesure la longueur de l'ordonnée correspondante MP» on ^ura lit?aleiir cbercbée de la fonction ; la courbe trapée résout donc le probl&me de l'interpolation. Mais il est évident que par tes m + I points donnés, on peut {aire passer une inûnité de courbes. Ces diverses courbes donneront pour la môme valeur OP de 3^ des valeurs différentes MP, H'P. Ainsi il y a indétermination. Si l'on emploie une cpurbe pqur efleçtuer l'interpolation, ce qui est yn moyen trës-conunode dans la pratique , on aura soin de la tracer aussi unie que possible, en évitant les sinuosités inutiles.

En algèbre, on effectue l'interpolation en cherchant ooe fonction entière du degré m qui admette les m + i valeuis données. Alors la question est complètement déterminée; nous démontrerons, en effet, qu'il existe toujours une fonction entière du degré m jouissant de ces propriétés, et qu'il n'en existe qu'une. Une fois cette fonction trouvée, on pourra calculer les valeurs qu'elle prend pour des valeurs intermédiaires quelconques de x; mais ces valeurs calculées ne doivent être considérées que comme des valeurs approchées de la fonction inconnue. On conçoit que les erreurs commises seront d'autant plus petites que le nombre des valeurs données sera plus grand et surtout que les intervalles seront plus petits.

Formule de Lagrange.

179« La qfuestion que nous avons à résoudre est la sui-

vante : troi^yer une fonction entière du degré tn qui admette tu 4-. 1 ^aleur^ flo^nées

pour m + 1 valeurs données

^oy ^i> *^ty > '^m

de la variable çc.

Proposons-nous d'abord de déterminer une fonction entière du degré m qui prenne la valeur u^ pour x =x^9 et

s'annule pour les m valeurs x^^ x^^ o;^ de la variable x.

Ce polynôme entier du degré m , que nous désignerons par

X^ , devant admettre les m racines x^^x^^ x^^ sera de

la forme

}L^=Aq[x â/j) (a? — j?,) ••••• [X'-~'X^,

Op déterminer^ la constante A^ par la condition que le polynôme premie }a yaleur u^ poiur x = o;^ , ce qui donne 1^ relation

doù

(Xq — X^) (Xf^ — X,) .. ••• (Xq — X^)

on aura donc

Proposons de même de déterminer une fonction entière du degré m prenant la yaleur u^ pour x=x^ et s' annulant pour

les m valeurs x^ , a;, , Xj , a?« de la variable x. Ce poly-

néme , que nous désignerons par X^ , devant admettre les m racines â?o , â?, , a;,, Xn,^ sera de la forme

et Ton déterminera la constante A^ par la condition (pxe le polynôme prenne la valeur u^ pour a? = â;^ , ce qui donne la relation

W| ï^ A| (^1 "^ Xq) [X^ — ^ X^j \X^ — ~ Xjj •« •• • ^X| — XmJ y

d'où

* (x, — Xo) (a;, — a:,) («, — «,) («, — x«) '

et par suite

Nous formerons , suivant la même loi « une foncticm entière X, du degré m qui prenne la valeur u, pour a: = a, et s'annule pour les m autres valeurs x^y aî^ , a?,, ..•^. «.de la variable a;, etc. ; enfin une fonction entière X«, du d^;ré « {Menant la valeur u^ poiur u = x^ et s'annulant pour les « autres valeurs x^^ ^i 9 ^, « ^«i-i de la variablea?.

Revenons maintenant à la question proposée. Il s'agit de trouver une fonction entière du degré m qui admette les m + 1 valeurs données

pour les m 4- 1 valeurs

X^f X^f X^f • • m • • f Xf,^^

* de la variable x. Il est clair que la fonction

somme des m+ 1 fonctions précédentes, jouit des propriétés énoncées ; car si Ton fait a?= a;^ , la fonction X^ prenant U

valeur u^ et chacune des autres X^ , X, , X^ s'annulanti

on aura u = u^. De même si l'on fait â? = a;^ , la fonction X,

l?iTERPOLAT10>\ 2(55

prenant la valeur u^ et chacune des autres X,, , X,, X^h

s'annulant, on a u=:u^; et ainsi de suite. Enfin, si l'on fait j; = 0?^ , la fonction X^ prenant la valeur u^ et chacune des autres s' annulant , on aura u = u^.

Ainsi la fonction cherchée u est donnée par la formule suivante , trouvée par Lagrange ,

:(j? — a:,)(x— a?,) {x — xj)

(Xo — x^){x — x;j (aTo— x„)

• [X -— " Xq) (X X^) [X Xff^]

(^1 """ ^0/ \*^1 •^i) \*^l ^nJ

180. Nous avons trouvé une fonction entière du degré m jouissant des propriétés énoncées. On démonti*e aisément qu'il n'en existe qu'une, c'est-à-dire que si deux polynômes entiers du degré m sont égaux pour m + ^ valeurs de X, ils sont identiques. Soient , en effet ,

Aa:- + Bar--' + H ,

ces deux polynômes ; en les retranchant l'un de l'autre , on sondt une équation du degré m

(A — A')ar + (B— B')ar-* + + (H — H') = o,

Ayant m-f ^ racines, ce qui est impossible. Il faut donc ^e les coefficients soient respectivement égaux, et alors les deux polynômes sont identiques.

Formule de Newton.

181. La formule de Lagrange est générale ; elle est vraie ^lUeUes que soient les m + ^ valeurs données à la variable ;

2ôt5 CHAPITRE Yil.

celle de Newton se rapporte spécialement au pas où ces valeurs sont en progression arithmétique.

Soient

^ay ^0 + *» ^o+^y >^o + wA, iPo + mA

les m + 1 valeurs données à la variable x ;

^of «iJ W,, K, ,U«

les valeurs correspondantes de la fonction u. Avec cesm+i valeurs on peut former les m différences sucessives

Aw^, AXf ^X-

Reprenons la formule (<x) du n^ 169

, n , nlu — i) ^,

qui exprime un terme quelconque de la suite proposée aa moyen du premier et de ses n différences successives. Le second membre s'arrête à a»^^ ; mais on peut , sans inconvénient , le prolonger jusqu'à a*^^ et l'écrire de la manière suivante

car les termes ajoutés ainsi , contenant le facteur n— «, sont nuls. Appelons x un terme quelconque x^ + nA de la progression arithmétique , et u la valeur correspondante ti» de la fonction. Nous posons a? = x^ + nft; il en résulte

n = — — â. Si l'on remplace n par sa valeur dans l'éqoa-

tion (1) , il vient

Jn voit d'abord que le second membre de l'équation (B) est me fonction entière du degré m par rapport k x; car le second terme est du premier degré , le troisième du second,

; le dernier, étant un produit de m facteurs du

premier degré , est du degré m ; ce terme du degré m , ne mouvant se réduire avec aucun autre , subsistera nécessairement daps le polynôme qui sera ainsi du degré m. On roît ensuite que cette fonction prend les m + i valeurs déniées u^, u^^ u« pour les m + i valeurs données

le x; car si dans cette fonction on remplace x par un enne quelconque x^ + ^f^ de la progression arithmétique ,

m — z-—^ par n, elle devient évidemment égale au second

nembre de l'équation (1), c'est-à-dire à la quantité u^.

Ainsi la formule (6) nous donne bien la fonction entière lu degré tw, qui , pour m+ 1 valeurs données de x en progression arithmétique , prend les ni+ i valeurs données

Iq , tij 9 u^. C'est la formule d'interpolation de

Newton. Elle contient, non pas précisément le^ valeurs lonnées de la fonction*, mais les' différences successives ju'on en déduit , et ceci est un grand avantage , parce que, :es différeiy^es diminuant en général très-rapidement , on se l^rpera 4^ns la pratique aux premiers termesf , et on i^ligera tous les autres.