Afin de simplifier, posons — j— 2-=^, la formule (B

2(58 cuAPiTKii: vu.

devient

Supposons que Ton interpole dans le premier intervalle, c'est-à-dire deXf^kx^ + h; z sera une fraction moindre que l'unité.

Lorsque les différences d'un ordre supérieur au premier sont assez petites pour qu'on puisse les négliger, la formule se réduit à ses deux premiers termes

L'accroissement u — u^ de la fonction est proportionnel à l'accroissement z de la variable ; on dit dans ce cas que l'on interpole par parties proportionnelles. C'est le mode trèssimple d'interpolation que l'on emploie quand, au moyen des tables de logarithmes, on cherche les logarithmes des nombres fractionnaires. Réciproquement, si l'on veut trouver la valeur de la variable qui rend la fonction égale à une

quantité donnée u, on aura z = ^.

Lorsque l'on conserve les deux premières différences , la formule d'interpolation devient

Alors la question inverse se résout au moyen d'une équation du second degré, dont on calculera la racine comprise entre o et 1 , l'autre racine étant en général très-grande à cause de la petitesse du coefficient de z' (!'• partie , n» 157).

Exemples.

La fonction u = logo? a pour différences successives

ag(a;+A-logx)=Iog(.+^) = Mg-^ + ^-....), log(ar+!»A)— alog(ar+A)+logaJ=log (» + — j — alog f » + -)

log (« + 5A) — 3 log (a? + aA) + 3 log (a; + A) — logaî

DUT A=: 1 et â?= 1000» on a

Ati = o,oooo4 54270 7686S ; A'ti = —0,00000 00045 4^076 , Lhi c= 0,00000 00000 00868.

D voit que les différences décroissent très-rapidement ', ifférence seconde étant moindre que l'unité du huitième ■e décimal, on peut la négliger lorsqu'on prend les rithmes avec sept décimales , comme cela a lieu avec tables de Callet , et interpoler par parties proportiones.

» Proposons-nous de calculer le logarithme de it au ^en d'une table contenant les logarithmes des nombres 1 à 1000 avec dix décimales. Prenant dans cette table

[ogarithmes des nombres 3,i49 3,i5, , et

ulant les différences successives , on formera le tableîiu ant :

0,496912 g648i 0,49831 o5538 0,49968 7o8a6 o^SoioS 92623 0,50242 71200

i38 i^oSy

-45^Ôgi

iyj

On négligera donc les différences d'un ordre supérieur àa^ quatrième, et Ton interpolera au moyen de la formule

Puisque it = 3,14169 26556 et qiié ft==ô,oi, on a js = 0,159 26536. Substituant cette valeur de z dans b formule précédente et effectuant les multiplications par la méthode abrégée , on trouvera avec dix décimales exactes,

log«=: 0,497 14 98726.

APPLICATION DE ÏA MÉTHODE d'iNTERPOLATION DE NEWTOR A LA REPRÉSENTATION EXACTE D'uNE FONCTION ENTIÈRE W DEGRÉ m DONT ON CONNAÎT LES VALEURS U^y U^, U,,..- U^ CORRESPONDANTES AUX VALEURS JJ^, aî^j + ft, 0^0 + ^*'

• • t . . • ic^j + «nft.

483. Cette question n'offre aucune difficulté ; c'est b question même que l'on a résolue quand on a cherché b formule d'interpolation de Newton (n° 181). Au moyen des valeurs données

llfTERPOLATlOlf. 271

m formera la suite des différences

U^, Atto, à.\, , A%;

m remplacera dans la formule (B) ces différences par leurs ^eurs , et on aura la fonction entière demandée.

On demande, par exemple, la fonction entière du troirième degré, qui Admet les TBletirs 5,-8, — g, 8, pour les {oatre valeurs o, i. 2, 5 de la variable. Le tableati des différences donne u^ = 5, àu^ = — 15, à.^u^= 12, a'uq =.6; substituant dans la formule (B) , on a la fonction cherchée

tt=5 — i3a?-|-6a:(a; — i)'^x(x-^ 1) (a?*— a),

3U, en ordonnant,

Autre exemple : Trouver la fonction entière du quatrième d^é qui admet les valeurs 1 , — 10, 3, 7, — 19 , pour les cinq valeurs — 2, — 1,0, 1,2 de a?. On formera les dilléreoces

ii,= i, Att^==-.i4. aX = 3o, à\ = — ^n, AX = a4,

qoe Ton substituera dans la foramle (B), ce qui donne

ic= 1 — i4(a; + 2) + i5(x + a) (x + 1) — 7(0: + 2) (x.+ 1)0;

(m^ en ordonnant,

« LA DIFFÉRENCE h ET LES QUANTITÉS II., AU^, A'u^j, . . • A*Uo SONT POSmVËS, X^ + (Wi— l)ft EST UNE LIMITE SUPÉRIEURE DES RACINES POSITIVES DE l'ÉQUATION