Imaginons que la fonction entière u = 1{x) du degré
m soit représentée par la formule (B)
«-«0+ ^ » + A V A Vi.a^"'"
+ -Â-i-Â V i-T-'— "+VTXi'
comme nous venons de l'expliquer, et supposons que toutes les quantités
ï'o» ^^0 ^Xi •••••♦ ^"^9
soient positives, la raison h de la progression étant axm positive. Si l'on donne à la variable x une valeur supérieure k x^+ (m — \)h, tous les facteurs binômes que renferme le second membre deviendront positifs; car le dernier
qui est le plus petit d'entre eux , acquiert alors TUie valeur positive ; la fonction étant ime somme de termes positifs, a nécessairement une valeur positive. 11 en est de même si Ton donne à a; la valeur^a?^ + (wi — i)ft , car cette valeur, annulant le dernier facteur binôme et par conséquent le * dernier terme, mais laissant positifs tous les autres, le polynôme sera encore une somme de termes positifs. Ainsi, X croissant indéfiniment à partir de x^+ {m — i )ft , la fonction conservera toujours une valeur positive sans devenir nulle ; donc l'équation f{x) = o n'a pas de racine positive égale ou supérieure à la quantité x^ + {m — i)h. Cette quantité est une limite supérieure des racines positives de l'équation; on donne en général ce nom à toute quantité positive plus grande que la plus grande raison positive. Dans l'exemple du n** 175, nous voyons que, pour jp = 3,
IMTERPOLATIOM* 27S
[e i>olynôine a une valeur positive 8 et que les différences :x>iTespondantes 4i» 3o, 6 sont aussi positives. En faisant h = 1 et x^= 3 dans la formule x^^ (m — i)A, on en conclut jjae 5 est une limite supérieure des racines poâtives de Téquation
De même, dans l'exemple du n"" 176, nous voyons que pour x = 6 le polynôme a une valeur positive 57, et que toutes les différences correspondantes sont aussi positives ; car pour les former on n'aurait à additionner que des quantités positives. Le degré m étant ici égal à 4^ on en conclut que 6 + 5 ou. 9 est une limite supérieure des racines pomtWes de l'équation
iS
APPLICATIONS DE U THÉORIE DES DIFFÉRENCES A LA RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUAnONS.
I iliia •ili
SÉPARATIOIf DES RACmËS d'UNE AqUATION ALGÉBRIQUE PAI LA SUBSTITUTION DE DIFFÉRENTS NOMBRES A l'INGONHUE. — ÉTUDE SPÉCIALE DU CAS D*UNE ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ. — SUBSTITUTION DE NOMBRES ENTIERS PAR LE MOYEN DES DIFFÉRENCES. — SUBSTITUTION DE NOMBRES ÉQUIDISTANTS d'UN DIXIÈME ENTRE DEUX NOMBRES ENTIEfiS CONSÉCUTIFS; DE NOMBRES ÉQUIDISTANTS d'uN CENTIÈME ENTRE DEUX NOMBRES ÉQUIDISTANTS d'uN DIXIÈME , ETC. ,
soit pour séparer les racines, soit pour en approcher. — ces dernières substitutions s' effectuent ad moyen de nouvelles différences déduites des premières. — usage des constructions graphiques dahs l'application de la Méthode précédente.
Résolution des équations du troisième degré.
185. Séparer les racines d'une équation , c'est trouver des intervaJles dans lesquels soient comprises les diverses
1IÉ80LUT10N NUIIÉHIQUB DSS ÉQUATIONS. 171
îaes réelles de Téquation , de muiëre cpi'U n-y ait
une ncine dans chaiiue intervalle. Pour e&ctner là té*
-ation des racines , on substitue ordinairement dee bmip
» équidistants , et quand il s'agit d'une équation algé-
que , on abrège beaucoup les calculs par le soyea ém
!érences.
RQxrenoos l'équation du troisième degcé
ap' + Sx*— 17a; -j- 5 = 0.
théorème de Descartes sur les variations montre que te équation a une racine réelle négative , le nombre des ;ines positives étant deux ou séro. En substituât direcdent l0s trois nombres — i , o , 4* > 9 ^ continuant le cal<- 1 piMT les différences , comme nous l'avons expliqué an 175, on pl^tient le tableau 8)4yant :
— la
la
Le polynôme ayant des valeurs de signes contraires ura; = oetic=i,onen conclut qu'une première racine îUe positive est comprise entre p et 1 ; la seconde ra-
276 ohâpitrb ¥111.
cine positive est comprise entre s et 3 ; la radne négadye entre — 6 et — 5. L'équation proposée a ses trois racines réelles, et ces racines sont séparées.
On a ainsi les racines à moins d'une unité près. Poiff avoir Fune d'elles à un dixième près , on subtituera des nombres équidistants d'un dixième dans l'intervalle qui la comprend. Par exemple , pour trouver la radne comprise entre a et 5, on substituera des nombres équidistants d'un dixième de a à 3. On pourrait substituer directement trois nombres a ; a,i ; a,a ; puis continuer par les différences; mais on évite la substitution directe des deux nombres s,i et a, a qui entraînerait à des calculs assez longs, en cherchant les différences successives qui se rapportent i x=2 quand la racine de la progression arithmétique devient égale à — et déduisant ces nouvelles différences des
premières.
186. Nous allons expliquer une manière simple d'effectuer ce calcul pour le cas spécial du troisième degré. Soit f{x) un polynôme du troisième degré. On a d'abord
Si l'on appelle <p(a?) le second membre, qui est un polpôme du second degré, on aura de même ^
Or, en dérivant le polynôme ç(a?) et remarquant que f{s} est une constante < on a
RÉSOLOTIOR NDMÉRIQUI DES ÉQUÂTlOIfS. 277
sobstituoiis dans ^^f{x) , il vient
Enfin , si Ton appelle ^ (x) le second membre qui est un polynôme du premier degré , on aura
Ainsi nous avons trouvé
tff[x) = r(x)A».
La différence troisième est constante. La seconde expreamon peut être remplacée par ime autre plus simple ; car on a par définition
A •/•(« — A) = b?f[x) — t?f[x — h), d'où l'on déduit
t}f[x — A) = bff{x) — à}f(x — A) = r(*)A'. •
U en résulte finalement les relations suivantes :
AY{x) = rwA% i,*f(x-h)=r(x)h\
Nous remarquons que f"{x)h* égale la différence troisième, que f'i^W ^^^ ^^ différence seconde antérieure, c'est-à-dire celle qui correspond kx — h^ et que, pour trouver f{x)hy il faut de la différence première retrancher la moitié de la différence seconde antérieure , et le siidëme de la différence troisième.
V76 châpitm Tiii.
Supposons maintenant que la raisoii de là progression arithmétique devienne dix fois plus petite, c'est-à-dire égale
à — y et désignons par $ les différences qui correspondeot
à cette nouvelle progression ; pour trouver ces noiivella différences , il suffira , dans les expressions précédentes , de
remplacer la lettre A par $ et A par — , ce qui doime
«*;t^)^MI!«f!m,
lOOO 1000
\ 10/ 100 lOD
La comparaison de ces formules avec les précédentes nous donne les règles suivantes : 1** On obtient la fwuvelle diffh rence troisième en divisant par looo Taneienee éiffèrmtt troisième. 2* On obtient la nouvelle différence seconde antérieure en divisant par loo V ancienne différence secondi antérieure, V Pour trouver la nouvelle différence préntien, de Vancienne différence première retranchez la moitié de Fandenne différence seconde aHtérieure et le itaiêtne de la différence troisième « divisez le résultat par i o et ajoutez-y la moitié dé la nouvelle différence seconde antérieure et le iimième de la différence troisième.
