BxËlÉi^tÈ I. Appliquons cette méthode à TéquatioB
Cette équation a une racine comprise entre ô et i ; pour calculer cette racine i^ im dixième prtei nous nûppMstesas
EÉSOLDTION NUMÉRIQUE DBS ÉQUATIONS. 270
qne la raison de la progression arithmétique , qui était Tunité , devienne égale à — , et nous fomierons le tableau
suivant :
5,ooo i,7a8
Nous supposons ici que , dans les formules de transformation , a; =: o. En divisant par i ooo l'ancienne différence troisième 6 , on a la nouvelle 0,006 ; Tancienne différence seconde antérieure 6 , celle qui correspond à a; = — i, divisée par 100 , donne la nouvelle différence seconde antérieure 0,06, celle qui correspond à — 0,1. Si de l'ancienne différence première — 13, on retranche 3 -|- 1 = ^ c'estàrdîre la moitié de la différence seconde antérieure 6 et le âzième de la différence troisième 6 , on a — 17, valeur ûe ^(o) ; divisant ce résultat par 10 et à — 1,7 agotitant o,o3 4- 0,001 s= o,o5i, c'est-à-dire la moitié de la nouvelle différence seconde antérieure 0| 06 et le ûxième de la diffé-* rence troisième 0,006, on a la nouvelle différence première -T- 1,66g. Avec cela on peut continuer le tableau. On voit quQ la racine est comprise entre o,3 et o4«
Si l'on veut obtenir cette racine à un centième près , on partagera l'intervalle de o,3 à 0,4 en dix parties égales;
là raison de kt {«rogression arithmétique, qui était — , de-
vient égale à — ; on déduira donc les nonvelles diffë*
rences des précédentes d'après la règle énoncée.
0^197000 0,048091 ,iooo3a
Les nouvelles différences renferment six chiffres dédinaux ; pour abréger, nous les écrivons en transportant la virgule de six rangs vers la droite. La radne est comprise entre o,3i et o,32.
Pour avoir la racine à un millième près, on partagera en dix parties égales Tintervalle de o,3i à o,St, et dei dernières différences on déduira les nouvelles d'après k même procédé.
o,3io
o,5ia
La racine est comprise entre o,3i3 et o,3i4.
188. Exemple II. Dans Texemple précédent, les racines ont été séparées par la substitution des nombres entiers;
RÉSOLUTION NUKÉRIQOE DK8 ÉOUATIOMS. 281
mais il n'en est pas toujours ainsi. Dans ce cas, on examine dans quel intervaUe sont situées les racines qui n'ont pas été séparées , et l'on partage cet intervalle en dix parties égales. Soit l'équation
Le tableau de substitution des nombres entiers
la
— la
la
ne présente qu'un changement de signe , de — 3 à — 4 ; il y a une racine négative dans cet intervalle; d'ailleurs, l'équation transformée en — x n'ayant qu'une variation , l'équation proposée n'admet pas d'autre racine négative. La condition de réalité des racines (n* 165) étant ici salis* fsdte , il en résulte que l'équation a deux racines positives , mais elles ne sont pas encore séparées. Tous les nombres entiers positifs donnent [en effet au polynôme des valeurs positives ; on le reconnaît dès que a; = i ; car lorsqu'on arrive à une ligne oblique composée de nombres positifs , les calculs suivants , consistant à ajouter les uns aux autres des nombres positifs , conduiront toujours à des résultats positifs. D'sdlleurs la valeur du polynôme pour â;= i, et les différences correspondantes étant positives , le nombre 3 est une limite supérieiœe des racines ; ainsi les deux racines poâtives sont comprises entre o et 3, et elles sont toutes les
282 cuAPiTa£ via.
deux situées dans le môme intervalle ; il s'agit de voir dans lequel. Considérons pour cela l'équation
obtenue en égalant à zéro la dérivée du premier membre de Téquation proposée ; nous savons (n"* 162) qu'entre les deux racines positives de Féquatlon pWpoÊée^ il y a une
itîve y/|,
— o,ia5
+ o,oi3
ya
racine de la dérivée ; cette racine est la racine positive
supérieure à 1, mais inférieure à a. Mais l'intervalle qui comprend les deux racines cherchées doit comprendre
aussi la quantité 1/ i » qui est située entre elles ; donc cet
intervalle est celui de 1 à 2. Afin de séparer les radnes, nous partagerons cet intervalle en dix parties égales.
On voit que l'une des racines est comprise entre i,3 et 1,4* l'autre entre 1,6 et 1,7.
Voiâ le calcul de ces deux racines à un centime près :
La première racine est comprise entre i,35 et i,36.
Gomme la seconde racine est beaucoup plus près de 1,7 que de 1,6, parce que la première valeur donne au polynôme une valeur absolue beaucoup plus petite que la seconde , on abrégera les calculs en partant de 1,7 et rétrogradant
— 0,003191 + o,oi3ooo
La seconde racine est comprise entre 1 ,60 et 1 ,70. 189. Exemple IIL Considérons encore l'équation
f(x)z=:X^ + IIX* — 102J:+ 181 = 0.
Substituons d'abord les nombres entiers :
— I la
aa
+ ta
L'équation transformée en — x n'ayant qu'une variation,
l'équation proposée a une racine négative et une seule; en prolongeant le tableau vers le haut , on verrait qu'elle est comprise entre — 1 7 et — 18. Les deux autres racines seront réelles positives , ou imaginaires. Les nombres entiers positifs donnent tous des résultats positifs ; car, dès a; = 3, on n'a que des nombres positifs à ajouter. Ainsi les deux racines positives, si elles existent, seront oompriaes dans le même intervalle. Pour reconnaître cet intervalle, on examinera les racines de l'équation
f(x)=ZX* + 22X — I0Ù = o,
qui sont réeUes , l'une positive, l'autre négative. La racine
positive x' = ' ^ ^ "^ = 5,2a ... devant être comprise entre les deux racines positives de l'équation proposée , on en conclut que, si l'équation proposée admet des racines positives , elles seront comprises entre 3 et 4- P^irtageons cet intervalle en dix parties égales :
o,3oi
Il est inutile de prolonger le tableau ; car, arrivé à 3,9 , on n'a que des nombres positifs à ajouter ; ainsi il n'y a pas de changement de signe , et les deux racines sont encore renfermées dans le même intervalle. D'après la valeur de :/ cet intervalle est celui de 3,8 à 3,3 ; Dous le partagerons en dix parties égales : /
RtSOLUTlOM HUHfiRIQUE DES tQDlTIORS
41 ao
3,ao
4iae
-f o.ooiafii
3,aa
— o,ool55a
n existe effectivement deux radnes réelles posilïTes , l'une comprise entre 5, si etâ.as, l'autre entre 3,3vet5,>3.
190. Bemahque. Des considérations géométriques aident souvent à discerner l'intervalle dans lequel sont comprises les racines , lorsqu'elles ne sont pas séparées. Reprenons l'équation x* — 72 -{- 7 = 0. Construisons les ordonnées correspondant aux valeurs entières de la variable , et traçons une courbe par les points ùnn obtenus. La dérivée f{x) étant du second degré ne peut s'annuler que deux rois et la courbe ne présentera qu'un maximum et un minimum. Le maximum a lieu entre E et F.
Le minimum devra être ûtué nécessairemententre lespointsBet C^ doncc'est dans cet intervalle que seront comprises les deux racines réelles positives.
L'emploi de la couibe ne réussit pas aussi bien pour l'équation
286 GBAPITRB ¥111.
Si Y Où trace la courbe , on voit que le minimum a Uea entre a et 5 ou entre 3 et 4* probablement entre 5 et 4; mais cependant on ne peut le décider d'une manière certaine. Il faut alors recourir aux racines de F équation f (x) =o, qui , dans tous les cas, permettront de décider immédiatement la question
