ExBMPi£ IV. Soit l'équation

f(x) =s: «• •— aap* + 5^ — 7 = o.

La substitution des nombres entiers ne donne qu'un cbaogement de signe de i à 2. L'équation

/"'(arJssSx*— 4x + 5=o

ayant ses racines imagin^res, l'équation proposée n'a qu'ime racine réelle, et elle est comprise entre 1 et s.

Exemple V. L'équation

n'a pas de racine négative ; la substitution des nombres entiers positifs ne donne qu'un changement de signe, de 3 à 4* L'équation

a ses racines réelles 1 et -. Si l'équation proposée avait ses

trois racines réelles , la plus petite racine 1 de la dérivée

devrait donner un résultat positif , la plus grande = un

résultat négatif; la valeur du polynôme pour x^^i ^aot

négative, on en conclut que Téquation proposée n'a qu'une

racine réelle , et cette racine est comprise entre 3 et 4*

ExËifiu VI. La substitution des nombres entiers dans le premier membre de Tèquation

ne donne qu'un changement de signe, de i à 9. L*équation

f (x) =0 a ses deux racmes , x = — 7-^^—, x = — 4"^— ,

réelles et comprises entre 0 et 1. Il faudrait substituer par dixième dans cet intervalle ; si le nouveau tableau ne présente pas de changement de signe, il faudrait substituer par centièmes dans l'intervalle qui comprend af^ et ainsi de suite. Mais on s'expose ainsi à faire une longue suite de calculs inutiles 9 si l'on n'arrive pas à un changement de signe, et après lesquels il serait impossible de rien conclure. Il vaut mieux simplifier d'abord l'équation , en faisant disparaître le terme du second degré, et y appliquer le caractère de réalité des racines. PoiU' opérer cette simplification, on remplacera â? par a? + -; Téquaticm devient

La condition de réalité n'est pas satisfaite ; ainsi l'équation proposée n'a qu'une racine réelle.

Êquatiom éCnn degré quelconque.

192. La méthode, dont nous venons de faire usage pour calculer avec une approximation plus ou moins grande les racines d'une équation du troisième degré , s'applique aux équations d'un degré quelconque. Après avoir substitué les nombres entiers, on partagera en dix parties ^ales les

288 CHAPITRE ^tll.

intervalles dans lesquels se trouvent les racines , puis en dix parties égales les nouveaux intervalles , et ainsi de suite.

Nous allons établir les formules générales au moyen desquelles on peut des anciennes différences déduire les

nouvelles. Soient h et k les racines des deux progresskuis

II' arithmétiques, k leur rapport -r-; nous désignons par a les

différences qui se rapportent à la première nuson li, par o celles qui se rapportent à la nouvelle raison h'. La fonctioD entière du degré m peut être considérée comme déterminée, soit par les valeurs qui correspondent à m + i termes

de la première progression , soit par celles qui correspondent à m + 1 termes

^o>^t+AS^o + î^'> iX^ + mk

de la seconde ; elle sera donc représentée par Tune ou l'autre des deux formules

. X — Xa 5? — Xa /x — «Crt \ A'w«

+ X — — Xq / X — - Xq I \

Si Ton pose pour abréger — ^ = z . d'où — tt^ = y ces deux formules deviennent

RÉSOLUTION MUMÉUitiUE DES ÉQUATIONS. 289