IG-) (I

Ces deux expressions représentant le même polynôme , ^ on les ordonne par rapport aux puissances de la variable z, les coefficients des mêmes puissances de z doivent être égaux de part et d'autre ; en égalant ces coefficients, on obtiendra des relations entre les anciennes différences et les nouvelles 9 qui permettront de calculer ces dernières au moyen des premières.

193. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'une équation du quatrième degré; les formules (i) et (2) se réduisent à

, z^ ^ z /z \^\ , z (z \lz \ aX

L'identification donne les relations

âdU CHAPITRE VIII.

Ces éqaations sont du {iremier degré; la première donneiia S^, la seconde S', la troisième ^, la quatrième 8.

m. :||^E]|fPl£VU« Appliquons à r^quatipn dit quatrième Le tableau de substitution des nombres entiers

— la

— ii3

loa

montre que l'équation a deux racines positives : une entre 1 et 2 , une autre entre 5 et 6 ; comme elle ne présente que deux variations, elle n'a pas d'autre racine positive.

Pour obtenir ces deux racines à moins d'un dixième, nous partagerons chacun des deux intervalles en dix par-

ties égales , et nous calc^^lerons les nouvelles différeqœs au moyen des formules précédentes

7;O0Op

4,355P a;54ii

1,1609 1,4855 ij8i25 a, 1395 3^^641

La première racine est comprise entre 1,4 ^t 1,5 .

La seconde étant plus près de 6 cpe de 5 , nous effectuerons le calcul en remontant.

fi, 1570

ii5a

Cette seconde racine est comprise entre 5,7 et 5,3.

L'équation proposée a d'ailleurs deux racines Aégativçs : une comprise entre o et — 1 , l'autre entre — 1 et — a. On les calculerait de la même manière.

195. Exemple VIIL Appliquons encore à Técjuation du quatrième degré

f{x) = 8x* — kox* 4- 5?^' *^ 4^>^ + 49 = <>• La transformée en -*-- a? n'ayant pas de variation , Téqaa-

lion n*a pas de racine négative ; elle peut avoir o, ou s, on 4 racines positives. La substitution des nombres entiers pontifs

ne présente pas de variation. L'équation

f{x) = 5%x^ — iaox*4- »*4^ — 40 = 0

n'a qu'une racine réelle , et elle est comprise entre s et 3. On en conclut que l'équation proposée ne pourra avoir au plus que deux racines réelles positives et, si elles existent , elles seront comprises entre 2 et 3. On partagera donc cet intervalle en dix parties égales.

— 6,2192 — 7,25oo

— 7ji392

3,4852 •3,i5oo 2,6420 1,9420 i,o3o8 0,1108

Ainsi r équation a deux racines réelles positives, comprises, Tane entre 2,1 et 2,2, l'autre entre 2,8 et 2,9.

REGHERGHE DES RACINES d'uNE ÉQUATION TRANSCENDANTE. lorsqu'on a substitué DES NOMBRES ÉQUIDISTANTS ET ASSEZ VOISINS POUR QUE LES DIFFÉRENCES DES RÉSULTATS PUISSENT ÊTRE CONSIDÉRÉES COMME ÉGALES A PARTIR d'uN CERTAIN ORDRE, ON CONTINUE L* OPÉRATION COMME S* IL S* AGISSAIT d'une ÉQUATION ALGÉBRIQUE.