Supposons d'abord que l'équation f{x) = o n'ait

pas de racines égales. J'appelle a, 6, c, A, jk, les m

racines de cette équation , et je pose

Je remplace x par a +C* — «)» et, regardant x — a comme un accroissement, je développe les deux polynômes F(x) et f^{x) suivant les puissances croissantes de x — a.

AW=A(«+^-«)=A(«)+A{«)-;-+

Je divise le premier polynôme par le second , en ordoo* nant le quotient par rapport aux puissances croissantes

de X — a; le premier terme du quotient est —^ ; j'appelle A ce premier terme -, en multipliant le diviseur par A et retranchant le produit du dividende , on a un reste qui ne contient plus de terme constant; si Ton met x — a en facteur commun, ce reste peut être représenté par (a? — o) ¥^(x) . Du dividende , qui est au plus du degré m — i , on retranche le produit A/',(x) qui est du degré m — i , et Ton

DÉCOMPOSITION DES PHAGTIONS RATIONNBLLKS. SIS

met X — a en facteur, le polynôme ¥^{x) est donc au plus du degré m — 2. J'arrête la division à ce premier terme; le dividende étant égal au produit du diviseur parle quotient, plus le reste , on a

(1) F{x)=Af,(x) + (x-a)F,[x).

En divisant les deux membres par f(x) ou par (â? — a) f^{x) , il vient

F(^) A F,[x) f[x)- x-a^ axY

Ainsi la fraction proposée est égale à une première raction

simple , plus une fraction rationnelle /; ^ de même

forme que la première , mais d'un degré moins élevé. Le dénominateur f^{x) est en effet du degré m — 1, le numérateur F^{x) au plus du degré m — s. Cette nouvelle fraction est d'ailleurs in'éductible comme la proposée ; car si les deux termes avaient un facteur binôme commun , ce ne pourrait être que l'un des facteurs de/'/o;), par exemple X — 6; ce facteur, divisant les deux parties qui composent le second membre de l'équation (1), divisendt leur somme F(a;), ce qui est impossible, puisqu'on a supposé qu'aucun des facteurs de f{x) ne divise ¥(x).

Les mêmes raisonnements s'appliquent à la fraction

/) :. Si l'on pose f^^x) = {x — b) f^{x) , on aura

f,(x)'^x^b'^ axY

F (x) la nouvelle fraction 7^ est aussi irréductible, son dé-

ilk CHAPITRE IX.

Dominateur du degré m — s , son numérateur an plus du degré m — 5.

De même

f,(x) x-c'^ f,[xy

en continuant de cette manière , on arrivera enfin à une fmtiQa du premier degré

Si l'on ajoute toutes ces égalités , les fractions intermédiaires disparaissent t ot Ton a

x-if

Amsi la fraction rationnelle est dicomposable en une somm de fractions simples , ayant respectivement pour dénominateurs les facteurs simples qui composent le dénominateur d$ la fraction proposée et pour numérateurs des constantes.