Je dis maintenant que la fraction proposée n'e$i

décomposable qu'en un seul système de fractions simples.

On démontre, en effet, que deux systèmes de fractioDS

simples

égaux pour toutes les valeurs de x, sont identiques. Multiplions par X — a , il vient

DÉCOMPOSITION DBS FRÀCTIOMS RÀTIOlflIBLLBS. 316

Donnons maintenant k xïk valeur particulière a; le premier membre se réduit à A ; si aucun des dénominateurs des fractions du second système n'était égal à x — a, le second membre s'évanouirait quand on fait a; = a ; il fisiut donc que l'un de ces dénominateurs soit égal à a; — a« Supposons i par exemple , a' = q; alors ox\ 9*

et A l'on fait a; = a, on en déduit A' = A. Ainsi la fraction

du premier système fsdt partie du second. Suppri-

mons ces deux fractions égales, il reste deux systèmes égaux

On démontrendt de même que la fraction — ^ — r du premier

appartient au second , et sdnsi de suite. Alors les deux systèmes sont identiques.

909. (LoGot OBS miMiBATEins. Noua avens tnraré Le preuuer nomérateur A ttt la valeur de la fraction

quand on y fait o^ s;= a<

316 CUAPITRK IX.

De même le second numérateur B est la valeur de b

fraction

quand on y fait x = by etc.

On peut aussi calculer ces constantes au moyen de la dérivée de la fonction f(x). En effet , nous avons posé

f[x) = {x — a)f,(x)', si Ton prend les dérivées des deux membres , il vient

et, en faisant x = a^

On en déduit

On aura de même

Ainsi les numérateurs des fractions simpks sont Us diverses

f(x) valeurs que prend la fraction tt-t» quand on y remplace

successivement x par chacune des racines a, b, k de

Viquation f (x) = o.

Exemples.

l"* Soit à décomposer la fraction

F(x) aar» + 5a?' — 6 ■f(x) '^x^ + 20i^—x^ — ax*