DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

En résolvant l'équation

on obtient les quatre racines simples 0,1, — 1 , — s. Ainsi la fraction rationnelle se décomposera en quatre fractions simples de la forme

f[x) X X — I 0?+» ap-f-a

Pour calculer les numérateurs , nous nous servirons de la

dérivée

f\x) = 4ar* + 6a:* — ax — a , ce qui donne

^-fçrz)- —

Nous avons donc

ax* + 5x*— 6 3 6 a__ , 3

x*-{-xe* — «' — aar x x — i x-f» « + **

2* Soit à décomposer la fraction

La fraction proposée se décomposera de la manière suivante :

(*+i)(x— i)(x— a)(x— 5) " «+1 "''ar— I '*'ar— a''"x— 3*

On peut déterminer les constantes iaimédiatement et sans Taide d'aucune formule par la méthode des cœfficiefUs inr déterminés. Si Ton multiplie par le dénominateur, TégaMté précédente devient

a:*+i = A(x— i)(a?— a)(j:— S)4-B(a:+i)(jr— a)(j:— 3) +C(a:+i){a?— i)(ar— 3)+D(x+i)(j?— i)(a?— a).

Cette égalité doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de x. Faisons x successivement égal à chacune des racines simples — 1,1,2,3, tous les termes du second membre ^(mnouissent, excepté un , et Ton a les relations

2 = — 24A, a = 4B, 5 =— 3C, lOzsSD; d'où Ton déduit les valeurs constantes

A = -' B = i, C = -|, D=|. la a 04

Cas des racines égales.

210. Supposons que a soit une racine de FéquatioD f[x) = o d'un ordre n de multiplicité. Nous poserons

et après avoir développé comme précédemment les denx polynômes F (a?) et f^{x) suivant les puissances croissantes deoj — a,

f^{x)=f,[a + x-a) = fM + f,'[a)'^+ ,

nous efTectuerons la division du premier par le second,