DÉCOMPOSITION DBS FRACTIONS RATIONNELLES

ordonnant le quotient suivant les puissances croissantes de X — a et poussant Topération jusqu'au terme du degré n — 1 ; représentons ce quotient par

k, + k,{x-a) + k^[x-aY + +A,,{2:-a)-*,

le reste de la division contenant à tous ses termes le facteur [x—ay peut être mis sous la forme {x — aYf^{x). On a ainsi

¥[x]=[k.+k,[x-a) J^k^^[x-ar%[x)+[x-aY¥,[x).

Le diviseur étant du degré m-^^n^ et le quotient du degré n — 1 , le produit du diviseur par le quotient est du degré m — 1 , et comme le dividende est au plus du degré m — i , la différence ou le reste de la division sera au plus du degré m — i ; puisqu'on a mis {x — a)* en facteur, il en résulte que le polynôme Fj(x) est au plus du degré m — n — 1. llest évident, d'ailleurs, que les deux polynômes f^{x) et Fj(a;) sont premiers entre eux; car s'ils avaient un facteur commun, ce facteur diviserait f{x) et F(a?), ce qui est contraire à l'hypothèse. Divisons maintenant par f{x) ou {x — ay fi(x) les deux membres de l'égalité précédente, il vient

f(x) (x— a)** "^ [x—a)^' "^ X— a '^ f,{xy

Ainsi le facteur multiple {x — ay donne lieu à une série

de n fractions simples» et nous avons encore à décomposer

F Ix) la ''raction irréductible t^h-t » dont le dénominateur est du

degré m — n, le numérateur au plus du degré m — n — i.

Supposons que l'équation f{x) = o contienne une seconde

racine h d'un degré p de multiplicité; nous poserons

/;(a?)= {x—byf^{x)^ et nous aurons de même

S'il, y a une troisième racine e d'ordre q , on aura encore

F«W Cq . Ci . I Ct>» I F»W

A(x) - (x-cY "^ (a:-cr "^ ^ x-c "^ /;{x)-

S'il n'y a pas d'autre racine multiple , le polynôme fj^x] ne- contenant plus que des facteurs simples, on aura, d'après ce qui a été dit plus haut,

!>)=iL.L. + I K

fj^x) X — rfa? — e X — £

En ajoutant toutes ces égalités , on trouve enfin

f[x) (ar— a)'*"^(ar— a)*-*"^ '^ x — a

\ ^^ \ Bt . I B>-t

"t" (ar-é)'"^ [x — b'r' "^ "^ X — *

+!Jl^. +.^

A chaque racine multiple correspond un groupe de frao tiens simples. La première fraction de chaque groupe existe nécessairement, mais les autres peuvent manquer; en effet, quand on effectue la division des polynômes F(x) et f^ {x) ordonnés comme nous l'avons dit , les premiers termes F (a) et f^{a) ne sont pas nuls, et par conséquent le pre-

mier terme Ao= 7-7-7 du quotient n'est ni nul ni infini;

mais parmi les termes suivants, quelques-uns peuvent avoir des coefficients nuls.