DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS IIATIONNBLLXS

211. Je dis maintenant que la fraction proposée n*eit décomposable qu'en un eeul système de fractions simples. Soient

deux systèmes égaux entre eux , quelle que soit la valeur de X. Multiplions les deux expressions par (x-^a)*" et fai*^ sons a: = a ; la première se réduit à Âo ; si aucune des frac^ lions du second système n'avait pour dénominateur une puissance de â? — a , le second membre s'évanouirait quand on faitx = a; il faut donc que certûnes fractions du second système aient pour dénominateurs des puissances de o?-^ a. Soit al:=a; je dis que n' = n; car si ces deux exposants différaient , si , par exemple , n était plus grand que n\ en multipliant par {x — o)*, on verrait que pour « = a le pre* mier membre se réduirait à Ao , tandis que le second s'évanouirait. On a donc aussi n' =^ n. Mais alors l'égalité devient, après la multiplication par ( j? — a)*",

Ao +H^-a)+ +(x^aY[^^^ + ]

= A', + A',(ar-û)+. +(a:-û)«[JL+ j;

si Ton fait a; = a , on en déduit Ao = A'o. Ainâ la première fraction du premier système se retrouve dans le second. En supprimant ces deux fractions égales et recommençant le même raisonnement , on verrait que la seconde ffj trouve également, et ainsi de suite. Donc les deux systèmes sont identiques.

Exemple* 212. Soit à décomposer la fraction rationnelle

7(^~"ar«— X* — x* + x*'

Le dénominateur

contenant un facteur triple , un facteur double et un fadeur simple, la fraction proposée se développera en fracticm simples de la forme suivante

f[x) a?» ^ x"^ X ^(ar— i)«^:p — I ^

Calculons les trois constantes qui se rapportent au Acteur triple Xs Nous ordonnons par rapport aux puissances croissantes de x^

/*j(x) = (a? — iY{x + i) = I — x-^x* + ar*,

et nous effectuons la di\dsion jusqu'à ce que nous arrivions au terme du second degré , en remarquant que dans ce calcul il est inutile d'écrire les termes d'un degré supérieur au second , ce qui abrège l'opération ,

a — 5a; 3a: + ax*

Puisque le quotient a été représenté par A^ + A^x + h^x\

on a

Ap = a, Aj = — 3, A, = — 1.