DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES. 32S

Calculons maintenant les coefficients qui se rapportent au facteur double x — i. On peut supposer que Fon commence la décomposition par ce facteur. Nous développerons jusqu'au premier degré en négligeant les termes suivants

et nous effectueras la division

Ce quotient a été représenté par B^, + B,(a? — 1); on a donc

Quant au coefficient C qui se rapporte au facteur simple (x + 1), on l'obtient par la règle ordinaire

Onaainsi

4ar*— 5a:+a 2 3 1 a

213. On peut employer aussi la méthode des coefficients indétermmés. On a posé

32i chàpitrb IX.

Si Ton chasse les dénominateurs , cette égalité devient

i^—5x+ a = (A^ + AjX + k^) (x— 1)*(« + i)

En donnant successivement à a; les valeurs o, i , — i ,

on a

a = Ao, i = aBo, 5 = — 4C, ' d'où

Aç = a, Bo = --, C = — -.

Prenons les dérivées des deux membres de l'égalité précédente , ce qui donne

1 !^-i={k^+2k,x)[x^iY{x+ 1 )+{Ao+A,jp+A^) [a{aP-i )(a:+i)+!x- +B,x\x+i)+[B,+B,[x^i)l5x'(x+i)+x^ ^ +Xx*(x—i y+aCa^x— 1 ),

et dans cette dernière égalité , faisons a; = 0 et x = 1 , nous

aurons

— 5 = Aj — Ao, 7 = aB,+7Bo,

d^où

Il ne reste plus que la constante A, à déterminer ; pour cela nous prendrons encore une fois la dérivée et nous y ferons a: = o. Il suffit d'écrire les termes qui ne contiennent pas le facteur Xj

2^ = aA,(ar — i)'(a: + 1) + aA^ [a(a? — 1) (a: + 1) + (x— i)"] + Ao[2(x + i) + 4(^-1)]+

Si Ton fait a; =: 0, il vient

0 = 2A, — îîA, — aAo»

DiCOMPOSITlON DBS PRACTIONS RATIONNKLLKS. 326

d'où

Coi des racines imaginaires.

21i. La décomposition de la fraction rationnelle ^j-~

est vrsde d'une manière générale, quelles que soient les racines de l'équation /'(x) = o, réelles ou imaginaires. Supposons que les deux polynômes qui composent la fraction proposée aient tous leiu*s coefficients réels ; dans ce cas , si l'équation admet une racine imaginaire a + P^ » ^^^ admettra la racine conjuguée a— pt. A ces deux racines correspondent dans le développement des fractions simples de la

forme

A+Bt A — B«

X — a — Pi' X — a-[-Pt'

les numérateurs de ces deux fractions sont des quantités imaginaires conjuguées; car la seconde se déduit évidemment de la première par le changement du signe de t. Si l'on veut éviter les imaginaires dans la décomposition, il suffit d'ajouter ces deux fractions simples, ce qui donne

A-fBt A — Bt aA(ar — g) — aBp

X — a-pt"^x— a + pt~" (a: — a)« + p' '

Ainsi , à un couple de racines simples imaginaires conjugaées correspond une fraction réelle de la forme

Mx + N

X* + px-\rq^

ayant son dénominateur du second degré et son numérateur du premier degré.

215. Nous avons supposé dans ce qui précède que les racines imaginaires conjuguées sont simples ; supposons maintenant qu'elles soient d'un degré n de multiplicité, et, pour abréger, représentons par x' + pa; + 9 1^ produit {x — a) * + p* des deux facteurs binômes du premier degré. Nous allons démontrer que la partie qui , dans le développement , correspond à ces deux racines imaginaires conjuguées d'ordre n , peut être ramenée à une somme de n fractions de la forme

dont les numérateurs sont réels et du premier degré.

Posons f{x) = {x* + px + 9)Yi(^). On peut disposer des deux constantes M^ et N^ de manière que le polynôme

(2) F[x) - (M,x + NJA W

soit divisible par x* + px -{- q. Il suffit pour cela qne ce polynôme s'annule pour jj = « + pi et pour x=ol — pf ; si nous remplaçons x par chacune de ces deux valeurs et si nous appelons A dzBt et G zh Dt les valeurs correspondantes des fonctions F (x) et /*i {x) , nous obtiendrons les deux relations

(A + Bi) - [M,(a + PO + NJ (G + Di) = o, (A BO - [Mo(a - PO + N J (G - DO = o.

On en déduit , en égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire ,

(pD-aG)iMo-CNo = -A, (PG + aD)M, + DN, = B.

Ces équations entre M^^ et N^ sont du premier degré; le