Soient

(1) ax^ + bxy + cy*'\-dx + ey + f=o,

(2) a'x*+b'xy+cy + dx+^y +/"=<>>

deux équations du second degré à deux inconnues. Si après avoir multiplié la première par c\ la seconde par c, on les retranche Tune de l'autre , les termes en y* disparaissent, et l'on a une équation du premier degré en y, d*où Ton déduit une valeur de la forme

y = fiw:' + no? + ?5

qui substituée dans l'une des deux équations proposées, conduit à une équation du quatrième degré en x. A chacune des valeurs de x correspond une valeur de y ; ainsi les deux équations proposées admettent en général quatre systèmes de solutions.

Mais on peut ramener la question à la résolution d'une équation du troisième degré. En effet, si Ton ajoute les deux équations , après avoir multiplié Tune d'elles par une quantité arbitraire X , on obtient une troisième équation

(3) [a+\a')x' + {b + U')xy + {c+X(f)y' + (d+ W)x

(*) Cette question fait partie du programme de géométrie analytique.

qui peut remplacer Tune des deux équations proposées. Or on peut disposer de l'indéterminée X de manière que cette nouvelle équation se décompose en deux équations du premier degré.

Représentons pour abréger l'équation (3) par

Ax^+Bxy + Cy« + Dx + Ey + F = o,

et, après l'avoir ordonnée de cette manière,

Cy' + [Bx + E)y+(Ax' + ï)x+F) = o,

résolvons-la par rapport à y. U vient

y=— 5^±^± JL v^(B'— 4AC)a:«+a(BE— aCD)x+E«— 4GF.

3ti 2ti

Le polynôme placé sous le radical sera un carré parfait si la condition

(4) (BE— aCD)»— (B*— 4AC)(E'— 4CF) = o

est remplie. Msds alors l'équation résolue devient

Ba; + E^v/B«-4AC/ . BE-aCD\ » = ^0-=*= ;C r+B'-4Acj'

et se décompose, comme on le voit, en deux équations du premier degré. On substituera l'une de ces deux valeurs de y dans Tune des équations proposées , par exemple dans l'équation (1), ce qui donnera une équation du second degré à une seule inconnue x ; on en déduira deux valeurs de a;, et par suite deux valeurs correspondantes de y. On substituera de même l'autre valeur de y, ce. qui donnera une nouvelle équation du second degré en x^ d'où Ton dé-

duira deux autres solutions. On aura ainsi les quatre solutions des deux équations proposées.

La relation (A) , simpUfiée et divisée par 4G, s'écrit

(6) AE« + CD«— BDE + (B« — 4AC)F = o;

si Ton remplace les lettres A, B, par leurs valeurs

a + Xa', a + ^b\ , on arrive à une équation du troisième

degré en X. Il suffira de calculer Tune des racines de cette équation avec une certaine approximation.

On pourrait aussi calculer deux des racines de l'équation en X. Substituant chacune d'elles dans l'équation (6) , on aurait deux groupes d'équations du premier degré à deux inconnues que l'on combinerait deux à deux; ces quatre combinaisons donneraient les quatre solutions des équations proposées.

^19. La question algébrique que nous venons de tr^ter revient à la recherche des points d'intersection des dem courbes du second degré représentées par les équations (1) et (2). Quand on a déterminé X, comme nous l'avons dit, l'équation (5) représente deux sécantes communes aux decs courbes. Il y a plusieurs cas à considérer : 1* Si l'équation du troisième degré en X a ses trois racines réelles , et si pour deux de ces racines la quantité B* — 4AG est positive, ces deux racines donneront deux couples d'équations du premier degré à coefficients réels , d'où l'on déduira quatre solutions réelles; les deux courbes du second degré se coupent en quatre points et admettent en effet trois couples de sécantes réelles communes. La troisième racine rendra aussi positive la quantité B* — 4AG.

2' Si l'équation du troisième degré n'a qu'une racine réelle, ou si, l'équation ayant ses trois racines réelles, une

seule rend positive la quantité B* — 4^0, les deux courbes du second degré admettent une couple de sécantes réelles communes; dans ce cas , elles se coupent en deux points ou ne se rencontrent pas ; les deux équations proposées auront, ou deux solutions réelles et deux imaginaires, ou quatre solutions imaginaires.

Exemples.

1® Soient les deux équations

ar' + y' — io = o, xy—yi=o.

L'équation du troisième degré

à laquelle on arrive , a ses trois racines réelles et comprises^ Tune entre 2 et 3, l'autre entre — 2 et — 3, la troisième entre — 8 et — 9 ; d'ailleurs la quantité B* — 4AG = X* — 4 est ici positive pour chacune d'elles. Donc les équations proposées admettent quatre solutions réelles que l'on calculera par l'un des deux procédés indiqués. 2* On résoudra les deux équations

or'+y* — aap = o, 2xy — 1=0,

à l'iiide de l'équation du troisième degré

qui n'a qu'une racine réelle ; cette racine est positive. Les deux équations du premier degré y =[ — X ±:-L Wdi ^i,

qui correspondent à cette racine réelle , donnent deux se-

cantes comimines réelIûSL En substituant ces deux valeurs de y dans la seconde des équations proposées , on obtient les deux équations du second degré

La condition de réalité des radnes est 0Î* < ± s. Cette condition n'est pas remplie si Ton prend le signe inférieur. Elle Test, au contraire, si Ton prend le signe supérieur;

car, dans ce cas , la condition se réduit à X < y 4 , et si

Ton substitue ce nombre y 4 dans l'équation en X , on a on

résultat 3 — y évidemment positif, ce qui prouve que la

valeur de X est plus petite que y 4. ïl résulte de là qu'une seule des deux sécantes rencontre la courbe , et par suite que les deux équations proposées ont deux solutions réelles et deux imaginaires.

S"" La résolution des deux équations

est ramenée à celle de l'équation du troisième degré

qui a ses trois racines réelles , une positive et deux n^^ tives. La première seule rend positive la quantité

B* — 4AC = X« — 4=ij et donne deux équations du premier degré à coefficients réels

Ces valeurs de y, substituées dans la seconda des équalions proposées , coaduisent aui^ deux équations du second degré

La condition de réalité des racines est ^ < d: s. Il est évident que cette condition n'est pas remplie si l'on prend le signe inférieur. Elle ne Test pas non plus si l'on prend le signe supérieur ; car, dans ce cas , la condition se réduit

à X < y^4 , et si l'on substitue cette valeur v4 dans

l'équation en X , on a un résultat négatif 3 — Ay 4 « ce qui prouve que la valeur positive de ^ est plus grande que

Y 4- Des deux sécantes communes réelles , aucune ne rencontre les courbes. Ainsi les deux équations proposées admettent quatre racioes imaginaires.

4* Soient les deux équations

Si t dans la seconde , on substitue la valeur

tirée de la première, on arrive immédiatement à une équartion du troisième degré

qui a une racine réelle et deux imaginaires. A la valeur réelle de y correspond une valeur réeUe de x. Ainsi les deux

336 APPBUDIGB.

équations proposées n'admettent qae trois solutions, une réelle et deux imaginaires.

Les deux courbes représentées par les équations proposées sont des hyperboles, telles qu'une asymptote de l'une est parallèle à une asymptote de l'autre ; ce qui indique que l'un des points d'intersection s'est éloigné à l'infini.

220. Dans certains cas , la résolution de deux équatioas du second degré à deux inconnues se ramène à une équation du second degré ou à une équation bicarrée.

Si les deux courbes sont semblables et semblablement placées , ce qui a lieu lorsque les coefficients des termes du second degré dans les deux équations sont proportionnels , on peut éliminer tous les termes du second degré en retranchant l'une des équations de l'autre, après l'avoir multipUée par un facteur convenable. On remplace ainsi l'une des équations proposées par une équation du premier degré ; l'élimination de y donne une équation du second degré en X.

Lorsqu'un même diamètre divise en deux parties égales les cordes parallèles dans les deux courbes , si , par une transformation de coordonnées , on rapporte les courbes à ce diamètre conunun pris pour axe des x etk une parallële aux cordes pour axe des y, les deux équations ne contiendront plus l'inconnue y qu'à la seconde puissance ; l'élimination de y* donnera une équation du second degré en x.

Si les deux courbes sont des hyperboles ayant une asymptote commune , en les rapportant à cette asymptote prise pour axe des x etk une di'oite quelconque pour axe des y, on a des équations dans lesquelles le terme eu xy contient seul la lettre x; en éliminant ce terme , on obtient ime équation du second degré en y.

Loi-sque les deux courbes ont même centre, si on les

rapporte à ce centre commun pris pour origine des coordonnées, les deux équations ne contenant plus de termes du premier degré , l'élimination de y donnera une équation bicarrée en X.

Si les deux courbes ont un foyer commun et qu'on le prenne pour origine , les deux équations se mettront sous

la forme

^^ + y* = {a^ + ày + cY,

On en déduit

ax + by 4-c=: ±(û'aî + i'y +c'), ou

[aztce)x + (b±b')y + c±c' = o.

On a ainsi deux équations du premier degré que Ton combinera avec l'une des équations proposées.

221. La méthode que nous venons d'exposer permet de ramener la résolution de l'équation du quatrième degré

h celle d'une équation du troisième degré. Si l'on pose en effet

L'équation s'écrit

y' + ûxy -\'by-\-'CX'\'d = o.

et l'on a à résoudre deux équations du second degré à deux inconnues , question qui se ramène , comme nous l'avons vu , à la résolution d'une équation du troisième degré en X.

Note B. Usage de la règle à calcul.

222. La règle à calcul est un petit instrument commode et portatif, qui remplace les tables de logarithmes « loiaqu'on n'a pas besoin d'une grande exactitude.

Elle se compose de deux parties , une règle fixe , et une réglette mobile qui glisse à frottement doux dans une rainure pratiquée au milieu de la règle. Elle est ordinairement en bois et a 25 centimètres de longueur.

Sur la face principale de la règle sont marquées deux séries de divisions inégales. Considérons spécialement la ligne supérieiu-e ; en allant de gauche à droite, on lit d'abord les nombres i, *2, 5, 4^ &« 6, 7, 8, 9, 10; les distances comp» tées à partir du point 1 , qui est au commencement , sont proportionnelles aux logarithmes des nombres. Ainsi la distance de 1 à 2 représente le logarithme de 2, celle de 1 à 3 le logarithme de 3, et ainsi de suite ; la distance de 1 à 10 représente le logarithme de 10, qui est un. Cette distance, qui occupe la moitié de la règle, a donc été prise pour unité de longuem*.

L'intervalle entre deux nombres consécutifs est divisé en dix parties correspondantes aux dixièmes. Par exemple, r intervalle entre 6 et 7 est divisé en dix parties par des traits plus petits , au-dessus desquels il faut supposer les chiffres 1, 2, 3, 4» 5» 6, 7, 8, 9 dixièmes. Ainsi la distance de Torigine 1 de la règle à la première division qui suit le nombre 6 représente le logarithme de 6, 1 ; celle qui aboutit à la division suivante représente le logarithme 6, a et ainsi de suite, On a (le cette façon les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 et 10, de dixièmes en dixièmes.

On remarque que de i à 2 chaque intervalle de dixième est subdivisé en cinq parties , dont chacune correspond à deux centièmes. Ainsi la distance de l'origine à la première petite division représente le logarithme de 0,0s ; la distance à la division suivante , celui de o,o4 ; et ainsi de suite jusqu'à i. On a de cette manière les logarithmes des nombres fractionnaires compris entre 1 et s, de deux centièmes en deux centièmes.

Entre 2 et 5, 5 et 4 9 4 ^t 5 , l'intervalle correspondant à chaque dixième et divisé seulement en deux parties , dont chacune correspond à un demi-dixième ou à cinq centièmes. Ainsi la distance de l'origine 1 à la première petite division qui vient après 2 représente le logarithme de s, o5 ; on a ensuite le logarithme de 2,10, celui de 2,10, etc.

Au delà de 5, c'est-à-dire de 5 à 10 , les intervalles de dixièmes n'ont pas été subdivisés. Cependant il est facile d'opérer cette subdivision à l'œil approximativement.

Au delà de 10, on lit sur la règle les nombres 20, 3o, 40* 5o, 609 70, 80, 90, 100. Cette seconde moitié, qui va de 10 à 100, est exactement pareille à la première moitié qui va de 1 à 10. Car le logarithme de 20, par exemple, étant égal au logarithme de 10, plus le logarithme de 2 , on a porté sur la règle, à partir de 10, le logarithme de 2, ce qui donne le logarithme de 20. On a donc dans cette seconde moitié les logarithmes des nombres considérés précédemment , multipliés par 1 0 .

L'intervalle entre deux dizaines consécutives est divisé en dix parties qui correspondent aux unités. Ainsi , entre 60 et 70, on lira 61, 62, 63, 64, 65,66, 67, 68, 69.

Entre 10 et 20, chaque intervalle d'unité est subdivisé en cinq parties, dont chacune correspond à deux dixièmes. Entre 20 et 3o, chaque intervalle d'unité est subdivisé seu-

lement en deux parties , dont chacune correspond à une demi-unité ou à cinq dixièmes.

La réglette porte à sa partie supérieure une ligne de divisions qui est la reproduction exacte des diiôsions de U règle ; de sorte que, si l'on fait coïncider le i de la réglette avec celui de la règle , toutes les divisions de la réglette coïncideront avec celles de la règle.

Je vais expliquer maintenant comment on se sert de cet instrument pour effectuer les opérations de Tarithmétique.

MuhipUeaiion.