LIVRE I. — CHAP. IV

Retnarqttes tur la division.

68. Remarque I. Quand les polynômes proposés ren ment pluùeurs termes non semblables du même degré rapport à la lettre ordonnatrice, les coefficients des dive puissances de cette lettre sont des polynômes et l'opéra devient très-compliquée. Soit à diviser le polynôme

(o»— o»ft+a*A*— aô»)«»+(o»— 3«»A+a»*»+*«)a:»

+ (a»6 4- aa*b*— aa*ft»— aai» — *»)x»

par

On disposera l'opération de la manière suivante :

o' i*b +a*b' -ab*

o' — ao»* + aW

+aa«*'

— aa»**

+ ab*

+aa'6»

— aa»6»

— ab*

+ cA*

— afb*

— aa'**

tA«

— aé»

— aa*6 + 6»

1" DivUion parUelle.

a»—a'*+a*é»— at»

a* — ab

—cfb +a»*

r MvtolM partielle.

«» oV

— aa*6 — a»6»4-fc'

r MvtaiM rmn

—a'b*—vi*b'—b*

IMK

Les deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissaooes décroissantes de x et les coefficients sont eux-mêmes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de a. Pour avoir le premier terme du quotient , il faut diviser le premier terme du dividende par le premier terme du divi- %ur; on divisera donc le coefficient

du premier terme du dividende par le coellicient a- + f^' an premier terme du diviseur , faisant cette division à part , on trouve sdnsi

(a* — ab)jo*

pour le premier terme du quotient. On multiplie le diviseur

par le premier terme du quotient et on écrit le résultat

avec des signes contraires au-dessous du dividende et dans

b colonnes verticales convenables. 11 est inutile d'écrire le

l^roduit du premier terme du diviseur, car on sait d'avance

4é LIVRE 1. <*^ OMAP. IV.

que ce produit détrnim h premier terme du dividende. Comme il suffit de connaître le premier terme du resto" pour cûntinmr l'opération, on ne fera la réduction des termes semblables que dans la deuxième colonne verticale. Pour avoir le deuxième terme du quotient, on divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseui*, ce qui exige que l'on effectue à part la division du coefficient

de ce premier terme par le coefficient a' + 6* du premier terme du diviseur ^ on tr<Mve ainei

pour le deuxième terme du quotient. On multiplie le diviseur par le deuxième terme du quotient , et on écrit le résultat avec des signes contraires au-dessous du dividende et dans les colonnes convenables ; il est inutile d'écrire le produit du premier terme du diviseur, puisqu'on sait que ce fNTOduit détruit lé premier terme du tes^ On rAduira tes termee semblablee dans 1» iroisièiM eelonM vMrtiMle» afin d'AYtâf te prenûer fteriM du Muteau tem^ nhrisAiit à part te eoeffteie&t

du premier terme du deuxième reste par le coefficient

a' + 6' du premier terme du diviseur, on obtient le troisième

terme du qw^lient

On multiplie le divisem* par le troisième terme du quolkat et on écrit le résultat avec des sigoes contraires au-dessous du dividende ; il est inutile cginme préc^deauaybsat d'éence le produit du premier terme du diviseur. Réduisant les temes semblables daas la quatriëiaye et la cinquième coienne verticale, oa trouve un reste auL Vogèratioa est terminée.

MflSfOM. 67

69. REMASQirB II. liOB rateonneuients préoédenls et les OMiehisioDs que nous en avons tirées supposent qu'il existe un polynôme eaûffr qui , multiplié par le diviseur, rqpro* Huit le dividende. Voyons à quels caractères on reconnatt la possibilité de la division.

Les polynômes étant ordonnés par rapport aux puis» sances croissantes ou décroissantes d'une môme lettre, il ee4 nécessaire d'abord que le premier tenue du dividende soit divisible par le premier tenue du diviseur et le dernier tenue du dividende par le dernier terme du diviseur. Soit, par exemple , à diviser

par

Le dender terme Ajb du dividende a'esl jms divisible par le dernier terme i^x* du diviseur •^doncladivisioii est impossible. Si ces deux conditions sont remplies, on effectuera k diviâon par le procédé ordinaire ; si l'opération ne conduit pas au dernier terme tel qu'on l'a obtenu directement, la division est impossible. Soit, par exemple, à diviser

a — ajp — Sas* + 4a:* — 6a^

Le premier terme du dividende est divisible par le premier terme du diviseur, ce qui donne 2 pour le premier terme du quotient ; le dernier terme est aussi divisible par le dermer terme , ce qui donne — sx* pour le dernier terme du quodent. Effectuons Popération suivant le procédé ordinaire.

e— Sx— 5a;«4- 40?»— 6a?* J i—/ix + 3x* — a+8a:— to* | a + Sar + ga;'

— 5« + ao»' — iSx^

-f pa^ — tiit^— 4U*

68 LIVRE I. — GUàP. IV.

L'opération nous conduit à un dernier tenue + 9^^ ♦ V^ n'est pas égal au dernier terme — ax' , tel qu'on l'a trouvé directement. Donc la division est impossible. »

Soit encore à diviser

par

La division des deux derniers termes donne ^ pour le dernier tenue du quotient. Mais le cœfficiejit du premier terme du diviseur étant l'unité, on n'aura dans le calcul que des coeflacients entiers , et par conséquent on n'arrivera pas à un dernier terme fractionnaire. Donc la division est impossible.

Si Topération conduit au deniier terme tel qu'on l'a obtenu à priori , il faut encore que le reste suivant soit nul. Soit , par exemple , à àiviser

a — 3ar — i6x* + 4^ — (>x* pai*

1 — 4^ + Zx\

L'opération conduit au dernier terme — *2X* tel qu'on l'obtient directement, msds le reste suivant n'est pas nul. Donc la division est impossible.

70. Remarque IIL En général, on ordonne les deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes de la lettre x, par exemple. Soit m le degré du dividende , n celiû du divisetir, m étant supposé plus grand que n; en effectuant l'opération , on obtient au quotient un polynôme entier du degré m — n. On observe que les degrés des restes successifs iront en diminuant d'unité en unité ; on poussera l'opération jusqu'à ce que l'on arrive à un reste d'un degré inférieur à celui du diviseur. Si ce reste est nul , la division se fait exactement et le quotient est entier. S'il n'est pas

nul, fl est impossible de continuer l'opération; le quotient est fractionnaire , et pour le compléter on ajoute une frac^ don ayant pour numérateur le dernier reste, et pour dénominatenr le diviseur. En void un exemple :

-f-aar* — iox'+ 6x

— 3«*+ i3x — 5 + Zx* — i5x + 9

— ax + 4

a^ — 5ar + 3

X* — ox — 3

Ona

x^ — 7^+ iox* + 7^ — 5 X* — 5x + 3

ax — 4 x' — 5x + 3'

71. En résumant ce qui précède, on voit qu'une opération algébrique a pour but de composer un polynôme au moyen de deux ou de plusieurs polynômes donnés, d'après oert^ûnes règles déterminées.

A un point de vue plus général , on peut considérer une opération algébrique comme ayant pour but de transformer une expression en une autre équivalente. On dit que deux expressions algébriques sont équivalenles lorsqu'eUes fourmssent le même résultat , quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres. Ainsi les deux expressions

(a + f>)\ (7» + ao* -f- h%

qui indiquent deux séries d'opérations différentes à effectuer sur les quantités a et 6, conduiront toujours au même résultat , quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres a et b ; ces deux expressions sont donc

70 LIVRE l. — CHAP, IV.

équivalentes, et Ton peut remplacer Tune par l'autre i volonté. 11 est clair que les opérations algébriques transfor ment las expressions en d'autres équivalentea; car, dans les raisonnements , les lettres représentent des quantités quelconques , et non telles ou telles valeurs particulières.