LIVRE IV
BKSSIOMS ET LOCïASITmiKS.
Cbap. I. Progressions arithmétiques. 2/ii3
Ghap. II. Progressions géométriques 250
Chap. III. Des logarithmes. — Définition 261
Propriétés fondamentales des logarithmes 263
Logarithmes dont la base est 10 266
De la caractéristique.— Changement qu^elle éprouve quand on multiplie ou quand on divise par une
puissance de 10 267
Tables. — Règles des parties proportionnelles. . • 268
Usage des caractéristiques négatives. 272
Chap. IY. application des logarithmes aux questions dMnté-
rèts composés et aux annuités. 286
GoMPLÉMBiiT. Résolution numérique des équations
du premier degré 2115
EMPLOI DES SIGNES ET DES LETTRES COMME MOYEN d'abréviation ET DE GÉNÉRALISATION.
Signes algébriques.
1. Pour abréger récriture et faciliter le raison neoieut, on est convenu de représenter les quantités par des lettres. On a coutume d'affecter les premières lettres de l'alphabet a, 6, c, ... aux quantités connues, les dernières a?, t/, js, ... aux quantités inconnues.
On a imaginé aussi des signes pour indiquer les diverses opérations de l'arithmétique.
Le signe +» ^^ l'on prononce plus^ indique l'addition. \insi, 5 plus 3 s'écrit
Le signe — , que l'on prononce moins , indique la soustraction. Ainsi, 5 moins 3 s'écrit
(♦) Ce chapitre d'introduction renferme les matières des huit leçons qui, d'après le programme, doivent être consacrées, dans la classe de troisième, à donner aux élèves les premières notions d'algèbre.
Y INTIVODUCTION.
Le rignB x^ ^Ue Tta pronotiôe miithjihf .])ltr, indique la inultipricatîon. Ainsi , 5 multiplié par 5 s'écrit
Pour abréger encore davantage, lorsque les quantités sont représentées par des lettres, on indique leur produit en mettant simplement ces lettres les unes à la suite des autres et sous -entendant le signe x. Ainsi, le produit a xbxc s'écrit plus simplement
abc.
Le produit 4 X a x ft X c s'écrira
^abc.
On indique la division par une barre horizontale au-dessus de laquelle on écrit le dividende,, au-dessous le diviseui'. Ainsi , 5 divisé par 3 s'écrit
C'est le signe de la fraction en arithmétique.
On indique la puissance d'un nombre , ou le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre » par un petit chiffre placé en haut et à droite et marquant le nombre des facteurs ou le degré de la puissance. Ainsi , la troisième puissance de la quantité a s'écrit
prononcez a trois. Le nombre 3 se nomme exposant.
On indique la racine par le «ignC ^ ^ au-dessous duquel on écrit le nombre dont on extrait la racine. Ainsi , la racine quatrième de la quantité a s'écrit
L'mmU^ du radical, qui est id 4» ^ ni^t dans l'ouverture. Cependant, quand il s'agit de racines carrées, on se dits
peoâe de mettre Tindice s. Ainsi la racine carrée de a s'écrit simplement
On se sert du signe =, que Ton prononce ègah^ pour exprimer l'égalité de deux quantités. Ainsi, 5 plus 5 égale 8 s'écrit
Le signe > veut dire plus grand que , le signe < plus petit que. Ainsi , 5 plus grand que 3 s'écrit
Au contraire , 5 plus petit que 5 s'écrit
On remarquera que ces signes d'inégalité ont la forme d'un angle, et que la quantité la plus grande est toujours placée du côté de l'angle.
Quelques exemples feront bien comprendie Futilité de ces différents signes et le but de l'algèbre.
Emploi des signes comme moyen d^abrèviation.
2. Problème 1. Partager 5o francs entre trois personnes^ de manière que la [tremière ail G francs de plus que la seconde^ la seconde 4 francs de plus que la troisième.
Voici comment on peut résoudre cette question avec les seules rccisources de l'arithmétique.
11 est clair que si l'on connaissait l'une des parts, ou obtiendrait ensuite facilement les deux autres. Cherchons, [)ar exemple , la troisième part : la seconde part surpasse la troisième de 4 francs; la première, surpassant la seconde iW G francs, surpasse la troisième de 4 pl^s 6, c'est-à-dire de 1 o francs. La somme des trois parts se compose donc de trois fois la troisième part, plus 4f plus lo, c'est-àrdii'e
à UHTRODUCTION.
plus i4« Mais cette somme est égale au nombre à partager 5o. Si de 5o nous ôtons lA^ le reste 36 sera égal à trois fois la troisième part; si nous divisons 36 par 3, nous aurons la troisième part i2.
Ainsi la troisième part est 1 2 • La seconde , qui la surpasse de 4 francs, est 16. La première, qui surpasse la seconde de 6 francs , est 2 2 .
3. Reprenons la même question en écrivant les rsdsonnementsxiu moyen des signes de l'algèbre.
Nommons la troisième part •••.•.. Xy la seconde, qui la surpasse de 4 » sera ... x + 4» la première , qui sxupasse la seconde de 6 , sera j? + 4 + 6.
La somme des trois parts est ôx+ i/^.
Mus cette somme doit être égale au nombre à partager 5o,
ce qui s'écrit
3x+ lU =5o;
prononcez trois x plus i4 égale 5o.
On nomme équation une égalité dans laquelle entre au moins une lettre représentant une quantité inconnue. Les raisonnements qui précèdent nous ont conduit à l'équation
11 s'agit mdntenant de résoudre cette équation, c'est-àdire de trouver la valeur inconnue de x.
Si, de ces deux quantités égales, nous retranchons la même quantité 14» il restera évidemment deux quantités
égales,
Enfin , si nous divisons par 3 , nous aurons
La question est résolue, puisqu'il suffit de connaître la traisiëme part pour avoir les deux autres.
à. Problème II. Partager 167 francs entre quatre personnes^ de manière que la première ait 2 francs de plus que la seconde j la seconde 7 francs de plus que la troisième^ et Ut troisième 5 francs de plus que la quatrième.
Nommons la quatrième part x^
la troisième sera ^ + S»
la deuxième a; + 5 + 7,
la première aî + 5 + 7 + 2.
La somme des quatre parts est 4^ + *^ M in&is cette
somme doit être égale au nombre à partager 167, ce qui
s'écrit
Pour résoudre cette équation , on opérera comme précédemment Je retranche 01 des deux côtés , j'ai
Je divise ensuite par 4» ce qui donne
Ainsi, la quatrième part est 34 francs; la troisième 39 francs, la deuxième 46 francs, la première 48 francs. On vérifiera que la somme est bien 167.
5. Problème III. Partager 53 francs entre deux personnes^ de manière que la première ait un tiers de plus que la seconde, plus encore 4 francs.
Nommons la seconde part x,
la première sera j? + - + 4-
Or la somme des deux parts doit être égale à 53 ; on a donc l'équation
Puisque « + 4 ^^"^ i» ^x + ^ font ^, et Téquation s'écrira plus simplement
Pour résoudre cette équation , nous retrancherons d'abord 4 de part et d'autre , ce qui donne
Si nous multîpKons ensuite par 3 ces deux quantités égales,
nous aurons
Enfin, si nous divisons par 7, nous trouvons
Quand on connaît la seconde part 2 1 francs , en y ajoutant son tiers 7 francs et encore 4 francs , on obtient la première part 09 francs. Et effectivement la somme des deux parts fait bien 55 francs.
6. Problème IY. Deux personnes possèdent le même capital. La première place le sien à 5 pour 100, la seconde à 3 pour 100. Le rmienu de la première surpasse de 400 francs celui de la seconde. Trouver ce capital.
Rappelons d'abord ce principe établi en arithmétique : pour trouver l'intérêt d'un capital, on multiplie le taux de l'intérêt par le capital et on divise par 100.
Si donc on désigne par x le capital chei'ché , le revenu de la première personne sera
100' celui de la seconde
Sx
iNtnuuutrnoN.
Puisque le reyew de la première surpasse celui de la seconde de 4qo francs « m a Véquation
5x 5x , ^ — = h 4qci.
lOO lOO '
Pour résoudre cette équation , nous retrancherons d'abord -rr^. de part Pt d'autre , ce qwi dopm
5x Zx
100 lOO "^ '
ou , en effectuant la soustraction ,
Multiplions ensuite par 1 00 , nous avons
Divisant enfin par 2 , nous trouvons
X = = 2QOQ0.
Ainsi le capital cherché est 20000 francs.
Vérification. Le capital 20000 francs, placé à 5 pour 100, produit 1000 francs de revenu; placé à 3 pour 100, il ne produit que 600 francs. Le premier revenu surpasse bien Jo second de 4oo francs.
Résolution d'une équation à une inconnue.
7. On voit, par ces exemples, combien l'emploi des lettres et des signes aide l'esprit et facilite le rdsonnement* Ce qui précède nous fournit aussi l'occasion de faire (quelques remarques utiles sur la résolution des équations.
Nous avons dit que Ton appelle- éguaU'on en algèbre une égalité ÔOTs l^qiielje eptre ftu moins unp Jottre représ^n-
tant une inconnue. Les deux quantités égales entre elles sont les deux membres de l'équation. Les diverses parties, séparées les unes des autres par le signe -f ou par le signe — , sont les termes de Féquation.
n est aisé de voir que Ton peut faire passer un terme d'un membre dans l'autre; il suffit, pour cela, de l'écrire dans l'autre membre en changeant son signe. Soit , par exemple, l'équation
6a? — 7= i3 + ax.
iSi nous ajoutons 7 aux deux membres, c'est-à-dire aux deux
quantités égales, l'égalité subsiste évidemment et l'équation
devient
Le terme 7, qui avait le signe — dans le premier membre, est passé avec le signe + dans le second membre. De même, si nous retranchons 20; des deux membres, l'équation devient
6x — ax= i3+ ?•
Le terme ao;, qui avait le signe -}- dans le second membre, est passé avec le signe — dans le premier.
Ce principe de la transposition des termes est extrêmement utile ; il remplace les raisonnements et permet d'opérer en quelque sorte mécaniquement la résolution des équations. On fait passer les termes connus dans un membre , les termes inconnus dans l'autre ; on réduit et on divise par le multiplicateur de l'inconnue.
Ainsi l'équation précédente est devenue
6x — 2ar= i5-f-7.
En réduisant, on a
et, en divisant par 4*
ao ^
On peut vérifier que 5 est bien la valeur de l'inconnue ;
iNmoDUcnoii. 9
car, en remplaçant x par 5 dans l'équation proposée, les deux membres deviennent tous deux égaux à 23.
