Considérons encore l'équation
Hx — i7 = 5x — a.
On fera d'abord passer le terme 1 7 dans le second membre en changeant son signe, ce qui donne
Mais le terme 5x, qui est en tète du second membre, n'a pas de signe; on procédera comme s'il était affecté du signe + et on le fera passer dans le premier membre avec le signe — . Car, si des deux membres on retranche 5a;, on a
D'où l'on déduit
Quand l'équation contient des dénominateurs, on commence par les faire disparaître en multipliant tous les termes de l'équation par un nombre convenable. Si l'équation ne renferme qu'un seul dénominateur, on multiplie par ce dénominateur. C'est ce que nous avons fait dans les problèmes III et IV. S'il y a dans l'équation plusieurs dénominateurs différents, on multiplie p^r leur produit ou plus simplement par leur plus petit multiple.
9. Problème Y. Trouver un nombre dont le quart augmenté de 7, égale les deux tiers diminués de 3.
En appelant x le nombre cherché, on écrira immédiatement l'équation
X aa?
Poiur chasser les deux dénominateurs 3 et 4» nous multiplierons tous les termes par le produit 1 2 de ces deux dénominateurs, ce qui donne
Sar + 84 = 8a? — 56.
10 IMTROfiUGTION .
NûUfi remarquona que pour multiplier lea deux fractious ^ et -=- par i » ,11 suffit de multiplier leiurs numérateurs par
T) et 4 9 en ôtant les dénominateurs.
Par la transposition des termes, l'équation devient
84 + 56 = 8x — 3j:, d'où Ton déduit
lao
VirificQtion^ -^ l^e quart de ^4t augmenté de 7, donne 1 3 ; les deux tiers 16 , diminués de S , dom^ent aussi }3.
Mise des problèmes en iqucUio^Sf
10. La résolution d'un problème comprend deux parties distinctes : on met d'abord le problème en équations, c'està-dire que l'on établit par des équations les relations qui existent entrç les quantités connues et les quantités inconnues ; on résout ensuite les équations, c'est-à-dire que l'on cherche les valeurs des inconnues qui satisfont aux équations. Nous avons indiqué les règles très-simples par lesquelles on résout les équations à une inconnue. La marche à suivre pour mettre un problème en équations n'est pas susceptible d'être formulée d'une manière aussi nette et précise. Dans beaucoup de cas simples, il suffit, après avoir représenté les inconnues par des lettres, d'écrire textuellement l'énoncé du problème au moyen des signes de l'algèbre ; c'est ce que nous avons fait notamment pour le problème V. Mais ordinairement l'énoncé du problème ne se prête pas à cette traduction immédiate eu langage algébrique ; dans ce cas, la meilleure règlp à suivra, c'est, après avoir bien examiné les conditions de l'énoncé et représenté les inconnues paf des lettres, de raisonner qommB si ces lettres représentaient des
inthoductioii. 11
quantitég conimes et d'écrire lea opérations qu'il faudrait
faire pour vérifier que ces valeurs des inconnues satisfont bien à l'énoncé ; on arrive ainsi sans grande difficulté aux équations du problème. C'est ainsi que noua avon^ procédé powr le problème lY; nous avons représenté par « Îq capital inconnu et, raisonnant comme si ce capital ét^t connUt now avon^ écrit que le rovenu de la premièrçi pçr^onne swps^aaç de 4oo francs celui de la seconde^ Lça ç^emplea 3uiyant9
feront encore mieux comprendre ce précepte.
11. Problème VI. Deux fontaines coulent dans un bassin; ta première, coulant seule, le remplit en 4 heures ; la seconde^ coulant seule , le remplit en 6 heures. Combien de temps les deux fontaines^ coulant ensemble^ mettront-elles à remplir le bassin?
Désignons par x le nombre d'heures qu'il faut aux deux fontaines pour remplir le ba3sîn ; et raîaionnons comme si nous voulions nous assurer que, dans ce temps x supposé connu, les deux fontaine^, coulant ensemble , remplissent bien le bassin. La première fontaine, coulant seule, remplit le bassin en 4 heures; en ime heure, elle verse donc y du bassin;
en X heures, elle en remplit une fraction marquée par -7,
La seconde fontaine, coulant seule, remplit le bassin en
6 heures ; en une heure , elle verse zi du bassin ; en x heu-
res, elle en remplit une fraction ^. Dans le temps rc, les
deux fontaines, coulant ensen&ble, versent donc une quantité d'eau représentée par
la capacité du bassin étant prise poqr unité. Mais, pondant
12 IMTEODUCTION.
ce temps, elles doivent remplir le bassin ; on a donc l'égalité
Telle est Téqnation du problème.
Pour la résoudre, on fera d'abord disparaître les dénominateurs; on voit de suite que 12 est le plus petit muhiple des nombres 4 6t 6. On multipliera donc par 1 2 tous les termes de l'équation, et nous observons que, pour multi-
plier par 1 a les deux fractions y et 7, il sufiit de multiplier
leurs numérateurs par 3 et par s, en dtant les dénominateurs. L'équation devient ainsi
3x4- aâ:= m; d'où
Ainsi il faut 2 heures et a4 minutes aux deux fontsdnes coulant ensemble pour remplir le bassin.
La vérification a lieu effectivement si l'on remplace dans
l'équation x par sa valeur -^ ; car les deux fractions 7 et r;
deviennent, après simplification, r et ^9 dont la somme
est 1.
