Problème VIL Vn père a 4o af», 9on fUi m a \o
Dans combien de temps Tàge du père sera-t-U triple de Vâge
dufiU?
Soit X le nombre d'années cherché. Après ce temps, l'âge
du père sera 4o + x^ l'âge du fils sera 10 -f ^- Gonune à
cette époque l'âge du père doit être triple de l'âge du fils,
on a l'équation
40 + ^ = (to + a?) X 5.
La parenthèse indique que la quantité i o + ^ ^t multipliée par 3.
Pour répéter trois fois la somme 10 + ^» il suffit évidemment de répéter trois fois chaque partie; l'équation devient donc
40 + X = 3o + 3x, d où Ton déduit
Mnsi , dans 5 ans l'âge du père sera triple de l'âge du fils. Et en effet, à cette époque le père aura 4^ &ns, le fils i5, et 45 est bien le ti'iplede i5.
13. Problème VllI. Deux courriers partent au même instant de deux villes distantes de 100 lieues et vont à la ren-contre tun de Vautre. Le premier fait 3 lieues à t heure ^ le fécond en fait 2. Quels chemins les deux courriers parcour^ ront'ils avant de se rencontrer?
Le choix de l'inconnue a une grande importance pour la facilité des raisonnements et la simplicité des calculs. Dans le problème actuel , au lieu de prendre les inconnues indiquées par l'énoncé;, c'est-à-dire les chemins parcourus, nous prendrons une autre inconnue dont les premières se déduisent aisément, savoir le temps pendant lequel marchent les deux courriers. Soit x ce temps exprimé en heures. I^ premier courrier, faisant 5 lieues à l'heure, parcouiTa en x heures ox lieues ; le second , faisant 2 lieues à l'heure , parcourra dans le même temps 2X lieues. Mais la somme des chemins parcourus doit être égale à la distance totale 100 lieues. On a donc l'équation
3x + !ur= 100.
d'où l'on déduit
ar=ao.
Ainsi les deux couiriers se renconti-eiit après 20 heures
là 1IITR0DD€TU»N.
de uiai-ohe. Le prauii^ mrt parcouru 60 lieues ^ le ;$ocoiul
4o. La somme est bien égale à 1 00.
lA. Problèii£ IX. Une montre marque midi; les deux aiguilles, savoir Vaiguilledes heures et celle des minutes^ sont actuellement au même point du cadran. On demande dans combien de temm et en quel point du cadran f aiguille des minutes rencontrera celles des heures?
Le cadran d'une montre est divisé en 60 parties égales. Dans une heure, raiguille des minutes parcourt les 60 divisions du cadran , tandis que celle des heures n'en parcourt que 5. Prenons l'heure pour unité de temps et appelons x le temps cherché; dans le temps œ^ l'aiguille des heures parcourt bx divisions, et l'aiguille des minutes 6ox; mais, après ce temps, l'aiguille des minutes, ayant rejoint Faiguille des heures, a parcouru le tour du cadran , c'est-à-dire 60 divisions , plus bx divisions. On a donc l'équation
60a: = 60 + 5a:; d'où l'on déduit
ar=-r = — =3 1^5" H = 1" 5°»a7» 4 .
Ahisi , la première rencontre aura lieu à 1 •* 5*" a 7' et mie fraction -^ de seconde.
La deuxième rencontre aura lieu après un temps égal, c'est-à-dire à 2** 10" + — "; la troisième, encore après un temps égal, c est-à-dire à 5'* 1 6"* + Ir» ^^* La onzième rencontre aura lieu à minuit, après un intervalle de 1 2 heures.
15. Problème X. Le soleil s^aioance chaque jour de Touest àVest de 59' 8", 19, la lune de i3**io'54",89. La lune est actuellement en coi^jonction avec le soleil. On demande dam combien de temps elle reviendra en conjonclion.
Ou dit que la lune est en conjonction avec le soleil quand
INTRODUCTION. lô
ces deux astres sout eu ligne droite avec la larre et d'un même côté de la terre. C'est le moment de la nouvelle lune. Prenons pour unité de temps le jour et appelons x le temps cherché» Réduîs(Miâ les arcs ea secondes» Le soleil décrivant ôâ4S", 1 9 par jour, décrira 5548'', 1 9 X a; en x jours ; la lune décrivant 47434">89 par jour, décrira 47434'\89Xic secondes dans le même temps. Mais la lune, ayant rejoint le soleil , a décrit dans ciel une circonférence entière, c*està-dire 36o* ou 1 296000'', plus Tare décrit par le soleil. On a donc l'équation
On en déduit
lâoBooo
Ce temps est ce qu'on appelle la durée de la révolution synodique de la lune , ou le mois lunaire.
16. Problème XL Combien faut-il mélanger de vin à 45 centimes le litre et de vin à 33 centimes pour faire i5o litres de tnélange à 4o centimes le litre?
Appelons x la quantité du premier vin qti'îl faut mettre dans le mélange; celle du second vin sera i5o — x.
Un litre du premier vin coûtant 45 centimes, x litres coûteront /^5x centimes; de même i5o — x litres du second \1n coûteront 33 (i5o — x) centimes. Mais, puisqu'un litre du mélange doit revenir à 4o centimes le litre, le mélange entier doit coûter 4oX i5o ou Gooo'*. On a donc Té-
quation
en prenant le centime pour imité.
Multiplier 33 par i5o — w revient à le répéter i5o lois moins x fois, ce qui donne 35xi5o ou 49^0 moins 33x. L'équation devient donc
i^ INTRODUCTION.
d'où Ton déduit
io5o ^ ^ ...
X = = 87,5 litres.
En retranchant ce nombre de i5o, on a ce qu'il faut prendre du second vin. Ainsi on mélangera 87,5 litres du premier vin avec 62,5 du second.
17. Problème XIL On a un lingot d'argent pesant 1245 grammes au titre 0,87. Combien faut-il y ajouter d'un secof^ lingot au titre 0,95 pour en élever le titre à 0,90?
On appelle titre d'un lingot d'or ou d'argent la quantité d'or ou d'argent pur que renferme un gramme du lingot. Appelons x la quantité du second lingot qu'il faut ajouter au premier. Le lingot, formé de l'alliage des deux premiers, pèsera 1245 4*^ grammes.
Un gramme du premier lingot contenant 0,87 d'argent pur, 1245 grammes contiendront 0,87x1245 ou io83,i5. Lu gramme du second lingot contenant 0,95 d'argent pur, X grammes en contiendront 0,95 xx. Mais le troisième lingot, pour être au titre 0,90 et peser 1245+ a? grammes, devra contenir 0,90 (1245 + a?) d'argent pur. On a donc
l'équation
io85^i5 + o^gSor = 0,90(1245 + ^)«
Si l'on multiplie par 100 les deux membres, l'équation
devient
io83i5 + 952: =90(1^4^ + x), ou
io83i5 -^ 9^^ = 1 i2o5o 4~ 90£>
On en déduit
x=:747 grammes.
18. Problème XIII. D'après Vitruve^ la couronne du roi Hiéron pesait 7465 grammes et perdait dans Veau 467 grammes. On sait que V or perd dans Veau les 52 millièmes de son poidSt que Vargent en perd les 96 millièmes. Déterminer
INTBODUGTION. 17
les quantités d'or et d'argmt qui entrent dans la composition de la couronne.
On raconte que le roi Hîéron de Syracuse avait fait remettre à un orfèvre une certaine quantité d'or pour en faire une coim)nne. Le travail achevé , la couronne avait bien le poids voulu ; mais le roi, soupçonnant l'orfèvre d'avoir gardé une partie de l'or et d'y avoir substitué un égal poids d'argent, consulta Archimède sur le moyen de découvrir la fraude sans endommager la couronne. Un jour qu' Archimède était aux bains, la solution du problème se présenta tout à coup à son esprit. On dit que , transporté de joie , il s'élança hors du bain, et, oubliant qu'il était nu, il traversa les rues de Syracuse en criant : J'ai trouvé, j'ai trouvé
Le moyen imaginé par Archimède repose sur ce principe de physique trouvé par lui , savoir : que tout corps plongé dans l'eau y perd une partie de son poids égal au poids du volume d'eau déplacé. Il consiste à déterminer par deux expériences préliminaires combien l'or, plongé dans l'eau , perd de son poids, et combien perd l'argent; puis à déterminer de la même manière combien perd la couronne plongée dans l'eau et à comparer ce résultat aux précédents.
Un gramme d'or perdant o,o52 dans l'eau, 7^65 grammes d'or perdent o,o52 x 7465 ou 388, 18. Si la couronne était d'or pur, plongée dans l'eau, elle perdrait donc 588, 18 ; mais elle perd 467 grammes; ceci annonce qu'il entie dans sa composition un métal, comme l'argent, moins denso que l'or.
Appelons x la quantité d'argent introduite par l'orfèvre; la quantité d'or sera 7465 — x. Un granune d'argent perdant 0,095 dans l'eau, x grammes perdront 0,095 x. De même 7460 — jc granunes d'or perdront o,o5a (7465 — x). La perte éprouvée par les deux quantités d'or et d'argent
devant âtre ^ale à la perte 46 7 grammes éprouvée pax ' la couronne (on suppose que l'alliage des deux métaux i^ lieu 6W3 contractiou ni dilatation), on a l'équation
o,og5x + o,o52{7465 — a?) = 467.
En faisant la multiplication indiquée par la parenthèse, cette équation devient
o^ogSâ; 4" 388» 1 8 — o,a5a^ s=; 467,
d'où Ton déduit
x;:==. i$33 grammes.
Ainsi rorfévre avait «ubstitué i833 grammes d'aif^nt à nn égal poids d'or.
19. Jusqu'ici nous n'avons résolu que des problèmes à une inconnue. Nous allons donner quelques exemples de problèmes à plusieurs inconnues.
Problème XIV* Pour payer se$ ouvrière sur le pied de 3 flranci chacun ^ il manque 8 fronce à celui qui le$ faU tra-vaUler. Mais s*il ne leur donnait que % francs chacun^ U lui resterait 3 francs* Quelle est la somme d'argent et le nombre des ouvriers?
Désignons par op le nombre des ouvriers et par y la somme d'argent. Pour donner 3 francs à chacun , il faudrait Zx francs; mais comme il manque 8 francst on a l'équation
Pour donner 2 francs à chacun, il faut 2X francs, etconuxie il reste 5 francs , on a l'équation
On a û»i deux équations i deux inconnues» Si^ dans la secoiMte équation* nous remplaçons y par la
INnODUCTlOH. 19
quantité égale 5^ *^ 8 donnée par la première , noas obte^ noDs nne équation à une seule inconnue
d'où nous déduisons , en la réaolvant par le procédé ordi-
uaire
Une fois la valeur de m trouvée, on obtient celle de y en remplaçant x par sa valeur 1 1 dans Tune des deux premières équations, ce qui donne
Ainsi il y a 1 1 ouvrier^, et la somme d'argent est 25 francs.
20, Pboblème XV. Detm sources j qui coulent uniformément^ ont rempli ensemble un réservoir de i8 mètres cubes , en eùulant Vum pendant 7 heures , Vautre pendant
2 heures. Les deux mêmes sources ont rempli un second réservoir de 22 mètres cubes y la première coulant pendant
3 heures , la seconde pendant 5 heures. On demande quelle est la dépense de chacune de ces sources.
Prenons pour unité de volume le mètre cube et appelons x et y les volumes d*eau que fournissent les deux sources par heure, La quantité d'çau versée par la première en 7 heures eM 7X, celle versée par la seconde en 2 heures est 2y; le premier réservoir ayant été rempli de cette manière, on a
l'équation
